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关于单位制
(* 联系地址
物理常数和不确定度的资料
黄晨 *2004年9月
复旦大学化学系表面化学实验室
eMailmorning_yellow@elephantbase.net)
一国际单位制(SI)和高斯单位制(CGS)的力学量纲和单位
力学物理定律在国际单位制(简称国际制记作SI)和高斯单位制(简称高斯制又称为厘
米克秒制记作CGS)
中具有相同的形式
并且它们都以长度
质量和时间作为基本量纲
所以所有的力学量都具有相同的量纲
另外
这两个单位之间的换算也相当方便都是10
的次方数
物理量长度质量时间频率力能量功率压强
量纲L
MTT
?1
LMT
?2
L2
MT?2L2MT?3L?1MT?2
国际制单位高斯制单位m(米)
cm(厘米)kg(
千克)g(克)s(
秒)s(秒)Hz(赫兹)Hz(赫兹)N(牛顿)dyn(达因)J(焦耳)erg(耳格)
erg/s
W(瓦特)
dyn/cm2Pa(帕斯卡)
表1力学量纲和单位
换算关系1m = 102cm1kg = 10g
--
1N = 10
dyn1J = 10erg1W = 107erg/s1Pa = 10dyn/cm2
二静电制(CGSE)量纲和单位
高斯制在电磁学中具两套单位制一套以库仑定律为基础称为静电制记作CGSE它是电动力学中最常用的单位制另一套以安培定律为基础称为电磁制记作CGSM它是国际单位制的理论基础
静电学中最基本的定律是库仑定律而该定律在国际制和静电制中有着不同的形式国际制的形式是
qqF=122(2-1)
4πε0r
这里ε0是真空中的介电常数其数值为8.8541878×10?12C2/Nm2而电磁制则是
qqF=122(2-1')
r
所以量纲和单位都有很大区别在国际制中电流是基本量纲而由公式(2-1')可以看出静电制不需要新的基本量纲为此静电制电量的量纲就是L3/2M1/2T?1它具有一个新的单位esu称为静电单位电量(或称静电库仑)其值为1dyn1/2cm
不同单位制中的单位可以互相转换这里给出从esu转换成库仑(C)的方法(1) 设1C = xesu
(2) 根据公式(A-1)当r = 1mq1 = q2 = 1C时F = 8.9875518×109N
(3) 把r = 1m = 102cmq1 = q2 = xesuF = 8.9875518×109N = 8.9875518×1014dyn代入公
式(A-2)得x = 2.99792458×10
9
(4) 得出结论
1C = 2.99792458×109esu[1]1esu = 3.33564096×10?10C
公式(2-2)和(2-2')是国际制单位和高斯制单位相互转换的基本公式
注[1]
由于等式两边采取的单位制不同所以这样的等号在数学上是不严格的
(2-2)(2-2')
三电磁制(CGSM)量纲和单位
静磁学中最基本的定律是安培定律
国际制的形式是?IIlF=012
2πd
其数值为4π×10?7Nm/A
2
F=
(3-1)
这里?0是真空中的导磁率而电磁制则是
2I1I2l
(3-1')
d
因此电磁制也不需要新的基本量纲
电流的量纲就是L1/2M1/2T?
1电磁制给予一个新的单位emu称为电磁单位电流(或称静磁安培)其值为1dyn1/2emu和A的转换公式为
1A = 0.1emu(3-2)1emu = 10A(3-2')物理量
电量
电流电位电阻电容电感磁感应通量磁感应强度磁场强度
国际制
量纲TIIL2MT?3I?1L2MT?3I?2L?2M?1T4I2L2MT?2I?2L2MT?2I?1MT?2I?1L?1I
静电制
电磁制
量纲
L1/2M1/2L1/2M1/2T
?1
L3/2M1/2T?2
LT?1L?1T2LL3/2M1/2T?1L?1/2M1/2T?1L?1/2M1/2T?1
单位emu?semuerg/emu?scm/s(cm/s2)?1
cmMxGsOe
单位
量纲单位
esuC(库仑)L3/2M1/2T?
1
esu/sA(安培)L3/2M1/2T?2
erg/esuV(伏特)L1/2M1/2T?1
?(欧姆)L?1T(cm/s)?1
cmLF(法拉)
H(亨利)L?1T2(cm/s2)?1
L1/2M1/2-Wb(韦伯)
-T(特斯拉)L?3/2M1/2
A/m-L1/2M1/2T?2
表2电磁学物理量的量纲和单位
四量纲分析法
在国际制电流单位安培是根据安培定律来定义的所以它的前身是电磁制单位由于存在这几个换算公式(1) 1m = 100cm(2) 1kg = 1000kg(3) 1A = 0.1emu所以可以根据国际制单位的量纲来确定换算比例如果国际制单位的量纲是LxMyTzIw那么它和电磁制单位的换算关系就是
(4-1)1国际制单位 = 10^(2x+3y?w)电磁制单位
例如国际制中磁强度单位T的量纲为MT?2I?1那么它和电磁制单位Gs的换算关系就是1T = 104Gs
静电制单位和电磁制单位的换算关系可以通过下面的公式得到
c=
1ε0?0
(4-2)
在静电制中4πε0 = 1在电磁制中?0/4π = 1而c在两个单位制中都是2.99792458×1010
cm/s所以静电制单位和电磁制单位的换算比例总是真空光速(2.99792458×1010)
的若干次方如果静电制单位和电磁制单位的量纲之比为L?nTn
那么两者的换算关系就是
(4-3)1静电制单位 = (2.99792458×1010)n电磁制单位
例如国际制中电容单位F的量纲为L?2M?1T4I2要把它转化为静电制单位cm首先要经过电磁制单位cm/s
2关系是1F(SI) = 10?9(cm/s2)?1(CGSM)由于电容在电磁制中的量纲L?1T2和静电制中的量纲L之比为L?2T2所以两个单位值的比例应该是1(cm/s2)?1(CGSM) =8.98755179×1020cm(CGSE)最后1F(SI) = 8.98755179×1011
cm(CGSE)
物理量电量电流电位电阻电容电感磁感应通量磁感应强度磁场强度
国际制静电制1C2.99792458×109esu1A2.99792458×109esu/s
1V
3.33564096×10?
3erg/esu
1.11265005×10
?12(cm/s)?11?
1F
8.98755179×1011cm1H1.11265005×10?12(cm/s2)?11Wb-1T-
1A/m-表3电磁学物理量的单位换算(注1Mx/cm2 = 1Gs = 4πOe = 1emu/cm)
电磁制0.1emu?
s0.1emu108erg/emu
?
s
109
cm/s
10?9(cm/s2)?1
109cm10
8Mx104Gs4π×10?3Oe
五单位的转化和不确定度
国际制单位和高斯制单位(以静电制为代表)通常都相差一个系数这个系数由物理常数来确定例如由公式(A-3)给出的换算关系可以写成
c
1C=esu(5-1)
10cm/s
这就意味着两个单位的换算系数同真空光速联系在一起如果真空光速的测量值有所改变那么换算系数就会变化这就在单位制换算中出现了不确定度好在国际单位制中真空光速具有精确值(即定义秒以后用真空光速来定义米)所以这种不确定度在国际制和高斯制之间并不存在但是在某些单位之间例如能量单位J和eV就相差一个基本电荷e/C该常数的不确定度就是这两个单位比值的不确定度根据这个道理同一物理常数在不同单位下具有不一样的不确定度例如基本电荷用C(库仑)时不确定度为0.09ppm用eV/V时就不具有不确定度又如普朗克常数以J?s为单位时不确定度为0.17ppm而用eV?s时不确定度就会减小到0.08ppm
六自然单位制
1
自然单位制(n.u.)是量子场论中的常用单位制它把真空光速(c)和普朗克常数(h)定义为所以有
~)=mc2(=2πhν)=2πν~=2πνm=mc(=2πh
第一文库网 ν(6-1)(6-2) [质量] = [动量] = [能量] = [长度]?1 = [时间] ?1
自然单位制只有一个基本量纲
质量这就使得四维时空坐标具有同样的量纲(质量的倒数
)四维动量-能量坐标也具有同样的`量纲(质量
)
并且这两个坐标之间存在倒易关系自然单位制中最常用的单位是eV国际单位制的mskg和eV
的换算公式为
?c??e??c?1kg=????eV1eV=??
m/sCm/s??????
?1
?1
2
?1
?2
e
kgC
(6-3)(6-4)
1s?1
h?e??h?e?1=s??eV1eV=??J?s?C?J?sC??
?1
?1
hc?e?c?e?1?h
(6-5)1m?1=????eV1eV=????m
J?sm/s?C?J?sm/sC??
在目前的物理常数表(CODATA 2002)中基本电荷(e)的不确定度分别是0.09ppm所以kg和eV比例的不确定度也应该是0.09ppm再来看s?1和eV以及m?1和eV的比例普朗克常数(h)的不确定度是0.17ppm
由于它和基本电荷之间存在联系即约瑟夫森常数(KJ
)所以这两个比例的不确定度不是0.09 + 0.17 = 0.26ppm而是KJ的不确定度0.08ppm约瑟夫森常数的定义是
2eeKJ==(6-6)
hπh
所以公式(6-4)和(6-5)最好改写成以下的形式
1s1m?1
另外
?1
KJ1?K?
=?J?eV1eV=π?=s?1π?Hz/V?Hz/V
?1
?1
?1
(6-4')(6-5')
用公式
(6-3)
KJc?KJ??c?=?m?1??eV1eV=π??πm/s?Hz/V??m/s?Hz/V1
因此有
自然制还把电常数和磁常数定义为
1
?1
ε0mm3kg
=
=22
F/mFCs
ε1?hc?
?(6-4')和(6-5')代入可得0=2?没有和eV
有关的项这说明电量是无量纲
?
F/mC?J?sm/s?
数并且有
?hc?hc??ε0?ε0
C=?????(6-7)?(n.u.)1(n.u.)=??
F/mJ?sm/sF/mJ?sm/s????
根据CODATA 2002的数值国际制和自然制的单位有如下的换算关系
(6-8)1m = 5.06773103(42)×106eV?1
?1?7
(6-8')1eV = 1.97326967(16)×10m
(6-9)1kg = 5.60958895(49)×1035eV
(6-9')1eV = 1.78266180(15)×10?36kg
(6-10)1s = 1.51926754(12)×1015eV?1
(6-10')1eV?1 = 6.58211915(55)×10?16s
(6-11)1C = 1.89006713(16)×1018(n.u.)
(6-11')1(n.u.) = 5.29081735(45)×10?19C
以上的换算关系都包含了一定的不确定度大约在0.08ppm左右
在自然单位制中
速度和角动量没有量纲笔者建议它们的基本单位分别命名为爱因斯坦(Einstein)和普朗克(Planck)这样就有
1(n.u.) = 1 Einstein = 299792458m/s(6-12)
(6-13)1(n.u.) = 1 Planck = 6.6260693(11)×10?34J?s
七原子单位制
原子单位制(a.u.)通常用在分子的计算中在国际单位制中多电子原子体系的定态薛定
鄂方程写成
??N
rrrre2?Z1??2N2?rr??
e2
在原子单位制中令h=me==1方程就改写成
4πε0?12Z?N????i??∑?
2ri??i=1?
很多系数都被消除了
具有不同的意义
?rr?rrrr?+∑1?()(Ψr,r,,rEΨr,r,,rL=L(7-1')
N12N)?1≤i
ij???
被消除的还有各个物理量的量纲这使得同一数值在不同场合下
mee2
(动量)=(速度)=1(a.u.)=h(角动量)=me(质量)=
4πε0h4πε0h
me?e2?me2?e2?4πε0?4πε0?
??(能量)=4?(力)?2(长度)=?2?(时间)=2????meeme?e?h?4πε0?h?4πε0??
根据公式(7-2)可以得到原子单位和各种国际制单位的换算关系
1(a.u.)= 1 Planck = 1.05457168(18)×10?34J?s(角动量)
= 9.1093826(16)×10?31kg = 5.4857990945(24)×10?4amu(质量)(笔者建议该质量单位命名为汤姆森(Thomson))
= 2187691.2633(72)m/s = α Einstein(速度)(α为精细结构常数)= 1.99285166(34)×10?24kg?m/s(动量)
= 1 Bohr = 5.291772108(18)×10?11m(长度)= 2.418884326505(16)×10?17s(时间)
(笔者建议该时间单位命名为海森堡(Heisenberg))
= 1 Hartree = 4.35974417(75)×10?18J = 27.2113845(23)eV(能量)= 1 Hartree/Bohr = 8.238 7225(14)×10?8N(力)
2
3
2
2
3
e2
(7-2)
(7-3)
附录A能量换算表
HartreeeV
kCal/molkJ/molcm?1?hcGHz?h
Hartree1
3.6749×10?21.5936×10?33.8088×10?44.5563×10?61.5198×10?7
eV27.2111
4.3364×10?21.0364×10?21.2398×10?44.1357×10?6
kCal/mol627.5123.0611
0.239012.8591×10?39.5371×10?5
kJ/mol2625.596.4854.18401
1.1963×10?23.9903×10?4
cm?1?hc2.1947×1058065.5349.7683.5931
3.3356×10?2
GHz?h6.5797×1062.4180×1051.0485×1042506.1×10329.9791
附录B常用物理常数表(由CODATA 2002年的推荐值整理而得)
物理量真空光速磁常数电常数真空特征阻抗冯-克利青常数精细结构常数约瑟夫森常数基本电荷普朗克常数里德堡常数玻尔磁子玻尔半径电子静止质量质子静止质量中子静止质量电子静止质量原子质量单位阿佛加德罗常数法拉第常数玻尔兹曼常数摩尔气体常数牛顿引力常数标准重力加速度标准大气压热功当量
符号c
数值299 792 458
4π
8.854 187 82...[10]376.730 313...[11]4.191 690 02...25 812.807 449(86)2.872 062 1655(96)1/137.035 999 11(46)[12]
4.835 978 79(41)1.449 789 96(12)1.602 176 53(14)[13]4.803 204 41(42)6.626 0693(11)[14]1.054 571 68(18)10 973 731.568 525(73)13.605 6923(12)[15]9.274 009 49(80)[16]5.291 772 108(18)[17]5.485 799 0945(24)0.510 998 918(44)[18]1.007 276 466 88(13)938.272 029(80)1.008 664 915 60(55)939.565 360(81)9.109 3826(16)[19]1.660 538 86(28)[20]931.494 043(80)6.022 1415(10)[21]96 485.3383(83)[22]2.892 5576 72(26)1.380 6505(24)8.314 472(15)6.6742(10)9.806 65101 3254.184
国际制m/s×107H/m×10?12F/m
?-?-/
×1014Hz/V
-×10?19C-×10?34J?s×10?34J?sm?1eV×10?24J/T×10?11m×10?4×106eV/×106eV/×106eV×10?31kg×10?27kg×106eV×1023mol?1
C/mol-×10?23J/KJ/mol?K×10?11m3/kg?s2
m/s2PaJ
高斯制×102cm/s4π(CGSM)1/4π(CGSE)×109cm/s×10?10(cm/s)?1
×109cm/s×10?8(cm/s)?1
/
×106emu/erg×1017esu/erg?s×10?20emu?s×10?10esu×10?27erg?s×10?27erg?s×10?2cm?1
-×10?21erg/Gs×10?9cm×10?4
-/
/×10?28g×10?24g×1023mol?1×10?1emu?s/mol×1014esu/mol×10?16erg/K×107erg/mol?K×10?8cm3/g?s2×102cm/s2×10dyn/cm2×107erg
?ε0Z0RK[1]
α [2]KJ[3]eh[4]R∞[5]R?hc
?[6]a0[7]me/amum?c2mp/amum?c2mn/amum?c2meamuamu?c2NAF[8]kBR[9]GgatmCal
注
[1]RZ0K=
2αα=
e2
[2]4πε0hc[3]K2e
J=
h[4]h=
h
2π[5]Rme??2
∞=4πh3c?e2
???4πε0
??
[6]?=
eB2me
[7]a24πε0
0=m?
ee2
[8]F=eNA[9]R=kBNA
以上公式均为物理量的定义公式
[10]ε10=
?2
0c[11]Z0=?0c[12]α=Z02RK[13]e=4ε0
cα
KJ[14]h=
2e
KJ
[15]R∞
?hc2cRe=∞
KJ[16]?cα2e
B=
8πR∞
[17]aα0=
4πR∞[18]m=
16ε0R∞
eαK2
Jm2[19]e?ce
=4cR∞
α2
KJ[20]amu=
me
meamu[21]N0.001kg/mol
A=
amu
[22]F=
cα2KJ(meamu)(0.001kg/mol)4R∞
以上公式均为物理量数值的推算公式
