方程与方程组(1)
方程与方程组(1)
知识点1、方程与方程的解
1、若x=1是关于x方程ax-3x=4的解，则a的值是多少？ 2、若x=1是关于x方程ax2+bx+c=0的解，则a,b,c的关系是什么？ 3、若a-b+c=0,则ax2
+bx+c=0一定有一个解为x= __________
4、已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= . 知识点2、一元一次方程及二元一次方程组
(1)、2{3[4(5x-1)-8]-20}-7=1; (2)、4?6x0.01?6.5?0.02?2x
0.02
?7.5;
*(3)0.4x?0.90.5?0.03?0.02x0.03?x?52; *(4)12[x?43(x?1)]?2
3
(x?1)?3.
5、（2013凉山州）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的
原价是
6、汽车以每小时72千米的速度在公路上行驶,开向寂静的山谷,驾驶员按一声
喇叭,4秒后听到回响,这时汽车离山谷多远?(声音的速度以340m/s计算)
7、（2013?邵阳）解方程组：．
8、（2013?江西）某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的
人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，
到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组是 并解答
9、已知：A（2，3）、B（6, 9），求直线AB的解析式
10、求直线3x+4y=12与4x-3y=7的交点。
11、（2013?眉山）2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐蓬解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产。已知甲工厂
每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天。
①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐蓬？
②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4
万元，要使这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工
厂加工生产多少天？
知识点3、分式方程
1、（2013?龙岩）解方程：42x+1=x
2x+1
+1．
2、（2013?泰州） 解方程：2x?2x?x?2x?2?x2?2
x2?2x
3、（2013?铜仁）张老师和李老花眼师住在同一个小区，离学校3000米，某
天早晨，张老师和李老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚
好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，求张老师骑自行车的速度。
4、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
5、（2013? 德州）某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3
）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？
6、（2013?三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受
顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量
与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，
出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩
余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）
知识点4、一元二次方程
1.（配方）2x2?5x?1?0 2.（公式）5x2?8x?2?0
3.（因式分解）x2?5x?14?0 4.（因式分解）(x?1)2?2x(x?1)?0
5、x1、x2是方程2x2?3x?5?0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）x21?x22； （2）x21?3x22?3x2。
6、（2013?眉山）已知关于x的.一元二次方程x2?x?3?0的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)=______
x?y
7、已知
x2?3xy?4y2?0(y?0)，求x?y的值。 8、（2013?孝感）已知关于x的一元二次方程x2
﹣（2k+1）x+k2
+2k=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得≥0成立？若存在，请求出k的值；
若不存在，请说明理由．
9、（2013?乐山）已知一元二次方程x2
-(2k+1)x+k2
+k=0 . (1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5. 当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
10、（2013宜宾）某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是 11、（2013?淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多
少件这种服装？
12、如图，在△ABC中，∠B=90度，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2
．当点P运动到什么位置时面积最大？
知识点5、不等式与不等式组
1、（2013?郴州）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．
7、（2013?呼和浩特）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
8、2013? 日照）如果点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
2、（2013?黔西南州）.如图2，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x
A、x?3 B、x?3 C、x?3
D22
、x?3
3、（2013?衡阳）解不等式组：；把解集在数轴上表示出来．
4、（2013?乐山）若a>b，则下列不等式变形错误．．
的是 ab
2 > 2 5、（2013，永州）实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确 的是( )
A.a?c?b?c B. a?c?b?c
C.ac?bc D. a?c
?第5题图
?
bb
6、（2013?宁夏）若不等式组
有解，则a的取值范围是．
**1、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2
－( 2k＋3 )x＋k 2
＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
解：（1）∵AB、AC方程x2
2
－( 2k＋3 )x＋k ＋3k＋2＝0的两个实数根
∴AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k2
＋3k＋2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5
∴AB22＝BC2
＋AC ，( AB＋AC )－2AB·AC＝25
即(2k＋3)2－2(2
k ＋3k＋2 )＝25
∴k2 ＋3k－10＝0，∴k1＝－5，k,2＝2
当k＝－5时，方程为x2
＋7x＋12＝0，解得x1＝－3，x2＝－4（均不合题意，舍去）
当k＝2时，方程为x2
－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4 ∴当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形
（2）若△ABC是等腰三角形，则有①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况
∵△＝(2k＋322
)－4( k ＋3k＋2 )＝1＞0 ∴AB≠AC，故第①种情况不成立
∴当AB＝BC或AC＝BC时，5是方程x2(2
－ 2k＋3 )x＋k ＋3k＋2＝0的根
∴52＋32
－5( 2k )＋k ＋3k＋2＝0
即k2 －7k＋12＝0，解得k1＝3，k2＝4
当k＝3时，方程为x2
－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5 此时△ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14
当k＝4时，方程为x2
－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6 此时△ABC的三边长分别为5、5、6，周长为16
***2、已知关于x的方程x 2
－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n； （2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（15
2 ，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝ 4 ？若存
在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵α、β为方程x2
－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根
∴△＝(m＋n＋1)2－4m＝(m＋n－1)2
＋4n≥0，且α＋β＝m＋n＋1，
αβ＝m
∴m＝αβ，n＝α＋β－m－1＝α＋β－αβ－1 · 2分
（2）证明：∵( 1－α )( 1－β )＝1－(α＋β )＋αβ＝－n≤0（n≥0），又α≤β
∴α≤1≤β ················· 4分
（3）解：要使m＋n＝59
4 成
①当点P（α，β）在BC边上运动时
由B（112 ，1），C（1，1），得 ≤α≤1，β＝1
2
而α＝99－1＝5
－β＝ 4 ＞1
4 4
∴在BC边上不存在满足条件的点 ········ 6分 ②当点P（α，β）在AC边上运动时 由A（1，2），C（1，1），得α＝1，1≤β≤2
此时β＝9＝955
－α －1＝ ，又∵1＜ ＜2
4 4 4 4
∴在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，5
） 8分
4
③当点P（α，β）在AB边上运动时
由A（1，2），B（11
2 ，1），得 α≤1，1≤β≤2
2
由对应线段成比例得1－α2－β
1 1β＝2α
2－
1－
2
?由??α＋β＝9 4 解得α＝33 ，β＝ ?
?β＝2α 4 2
又∵1＜33
＜1，1＜ ＜2
2 4 2
∴在AB33
，）
4 2
综上所述，当点点P（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点
（1，533＝5 ，），使m＋n 4 成立 ·· 10分
4 4 2
***3、已知关于x的方程x 2
－4|x|＋3＝k．
（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？ （2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？ （3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？
（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．
解：（1）令t＝|x|，则原方程化为：t2
－4t＋3－k＝0
△＝(－4)2
－4(3－k)＝4k＋4 ········· 1分
要使原方程有四个互不相等的实数根，则方程t2
－4t＋3－k＝0必须有两个不相等的实数根
∴4k＋4＞0，∴k ＞－1 ············ 2分 同时t1·t2＝3－k ＞0，∴k ＜3 ········ 3分 ∴当－1＜k ＜3时，原方程有4个互不相等的实数根 4分
（2）要使原方程有3个互不相等的实数根，则方程t2
－4t＋3－k＝0必须有一个零根和一个正根
∴4k＋4＞0，∴k ＞－1 ············ 5分 同时t1·t2＝3－k＝0，∴k＝3 ········· 6分 ∴当k＝3时，原方程有3个互不相等的实数根 ·· 7分
（3）要使原方程有2个互不相等的实数根，则方程t2
－4t＋3－k＝0必须只有一个非零根
∴4k＋4＝0，∴k＝－1 ············ 8分 且当x＝0时，3－k≠0，即k≠3 ········ 9分 ∴当k＝－1时，原方程有2个互不相等的实数根 10分
（4）要使原方程只有1个实数根，则方程t2
－4t＋3－k＝0必须有两个零根
∴4k＋4＝0，∴k＝－1 ··········· 11分 同时t1·t2＝3－k＝0，∴k＝3 ········ 12分
∴不存在符合条件的k值 13分
