高中数学公式：积化和差公式

杳然分享2018-04-02 02:29:17 次阅读

　　积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。

　　公式

　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】

　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　证明

　　法1

　　积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

　　即只需要把等

式右边用两角和差公式拆开就能证明：

　　sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

　　=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　其他的3个式子也是相同的证明方法。

　　(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积)

　　法2

　　根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)

　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

　　记忆方法

　　积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。

　　【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是

　　[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。

　　也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：

　　cos(α-β)-cos(α+β)

　　=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

　　=2sinαsinβ

　　故最后需要除以2。

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