约数是什么_科学知识

约数，是我们在学习数学的过程中，会遇到的东西，那么约数究竟是什么呢?以下是PINCAI小编整理的关于约数的相关内容，欢迎阅读和参考!

约数是什么_数学知识

约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。在大学之前，"约数"一词所指的一般只限于正约数。约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。同时，它可以在特定情况下成为公约数。

拓展阅读：约数的求法

枚举法

枚举法：将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。

例：求30与24的最大公因数。

30的正因数有：1,2,3,5,6,10,15,30。

24的正因数有：1,2,3,4,6,8,12,24。

易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。

短除法

短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z(通常从最小的质数开始)，然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。

求12和18的最大公约数

求12和18的最大公约数(3张)

(短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数与最后所得的商相乘即可)

例：求12和18的最大公约数。

解：用短除法，由左图，易得12和18的最大公约数为2×3=6。

例：求144的所有约数。

解：所有约数(72,2)(36,4)(18,8)(9,16)(3,48)

分解质因数

将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。

例：求48和36的最大公因数。

把48和36分别分解质因数：

48=2×2×2×2×3

36=2×2×3×3

其中48和36公有的质因数有2、2、3，所以48和36的最大公因数是 2×2×3=12。

辗转相除法

(欧几里得算法)对要求最大公因数的两个数a、b，设b

这一算法的证明如下：

设两数为a、b(b

令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc，根据前提有r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

由上，可知c也是r的因数，故可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公因数成为cd，而非c】

所以 gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

例：求8251和6105的最大公因数。

考虑用较大数除以较小数，求得商和余数：

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4

最后除数37是148和37的最大公因数，也就是8251与6105的最大公因数。

约数也叫做因数，是因数的另一个称呼。

更相减损术

更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言就是

第一步：任意给定两个正整数a、b;判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简;若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。这个数就是a、b的最大公约数。

例：求98与63的最大公因数。

分析：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数为7。

注：以上首三个方法同样适用于求多个自然数的最大公约数

[约数是什么_科学知识]