换元法证明不等式
换元法证明不等式
换元法证明不等式已知a,b,c,d都是实数,且满足a^2+b^2=1,c^2+d^2=4,求证:|ac+bd|≤2
a=cosA,b=sinA
c=2cosB,d=2sinB
|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB}=2|cos(A-B)|
<=2
得证
若x+y+z=1，试用换元法证明x+y+z≥1/3
解法一：(换元法)
证明：因为
(x-1/3)^2
展开，得
x^2+y^2+z^2-2/3*(x+y+z)+3*1/9≥0
x^2+y^2+z^2-2/3+1/3≥0
x^2+y^2+z^2≥1/3。
其中等号当且仅当x=y=z=1/3时成立
解法二：
因为:x+y+z=1
所以:(x+y+z)=1
化解为:x+y+z+2xy+2xz+2yz=1
又因为：
x+y≥2xy;
x+z≥2xz;
y+z≥2yz;
所以x+y+z+2xy+2xz+2yz=1<=3(x+y+z)
固x+y+z≥1/3
例1：已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3
证明：令a=m+1/3，b=n+1/3，c=t+1/3，则m+n+t=0
∴a2+b2+c2=(m+1/3)2+(n+1/3)2+(t+1/3)2
=m2+n2+t2+2(m+n+t)/3+1/3
=m2+n2+t2+1/3
∵m2+n2+t2≥0， ∴a2+b2+c2≥1/3 得证。
换元的目的：转化、化简已知条件，使已知条件更易于使用。
例2：已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)
证明：令x=a-b，y=b-c，则a-c=x+y且x>0，y>0
∴原不等式转化为：1/x+1/y≥4/(x+y)
因此，只要证明：(x+y)/x+(x+y)/y≥4
只要证：1+y/x+1+x/y≥4
只要证：y/x+x/y≥2，而y/x+x/y≥2恒成立。
∴1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c) 得证。
换元的目的：
化简、化熟命题，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的`、熟悉的命题。
例3：已知(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y2=0，求证：(3-√5 )/2≤x2+y2≤ (3 +√5 )/2
证明：令x2+y2=t
由(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y2=0整理得：
(x2+y2) 2-3(x2+y2)+1=-4x2
∴(x2+y2) 2-3(x2+y2)+1≤0
∴t2-3t+1≤0，解之得：(3-√5 )/2≤t≤(3 +√5 )/2
∴ (3-√5 )/2≤x2+y2≤(3 +√5 )/2 得证。
换元的目的：转化条件，建立条件与结论间的联系。
例4：已知x-1=(y+1)/2=(z-2)/3，求证：x2+y2+z2≥59/14
证明：设x-1=(y+1)/2=(z-2)/3=k，
则x=k+1，y=2k-1，z=3k+2
∴x2+y2+z2=(k+1) 2+(2k-1) 2+( 3k+2) 2
=14k2+10k+6
=14(k2+5k/7)+6
=14(k+5/14) 2+59/14≥59/14
∴x2+y2+z2≥59/14 得证。
换元的目的：减少未知数的个数，直接利用已知条件。
例5：已知a>0，求证：(a+(a+(a+(a+…+a 0.5) 0.5) 0.5) 0.5) 0.5<[1+(1+4a) 0.5]/2
证明：设t1=a 0.5，t2=(a+a 0.5) 0.5，……，tn=(a+(a+(a+(a+…+a 0.5) 0.5) 0.5) 0.5) 0.5
tn=(a+ tn-1) 0.5
tn2=a+ tn-1，且tn>0，而tn> tn-1
∴tn20
∴tn<[1+(1+4a) 0.5]/2 原不等式得证。
换元的目的：转换、化简命题
例6：已知a≥c>0，b≥c，求证：√c(a-c)+√c(b-c) ≤√ab
证明：要证明原不等式，只要证明：
√c(a-c)/ ab +√c(b-c)/ ab ≤1
只要证明：√(c/b)(1-c/a) +√c/a(1-c/b) ≤1
令sinα= √c/b ，sinβ=√c/a ，且α、β∈(0，π]
只要证明：sinαcosβ+cosαsinβ≤1
只要证明：sin(α+β)≤1，而sin(α+β)≤1显然成立
∴原不等式得证。
换元的目的：利用两个正数的和等于1进行三角换元，可以将原问题得到极大
程度的化简，在各种命题的解题中有着广泛的应用。
例7：已知a2+b2=c2，且a、b、c均为正数，求证：an+bn2且n∈N
证明：设a=csinα，b=ccosα。α∈(0，π/2)
则：an+bn=cnsinnα+ cncosnα=cn (sinnα+ cosnα)
∵0
