基本不等式导学案

基本不等式导学案

均值不等式

【使用说明】1.自学课本P69—P71,仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本； AA完成所有题目，BB完成除（**）外所有题目，CC完成不带（*）题目。加?为重点内容，加△为次重点内容。2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。4.必须掌握的方法：运用均值不等式求函数的最值；数学思想：整体代换思想，数形结合思想.

一、学习目标：1.熟练掌握均值不等式，提高运用均值不等式解题的能力；

2.自主学习，合作交流，探究均值不等式应用的规律及方法； 3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。

重点：均值不等式；难http://点：均值不等式的运用。

二、问题导学：

?问题1：均值定理是如何叙述的？你会证明吗。

思考1：均值定理的适用范围是什么？成立的条件是什么？

思考2：“当且仅当”的含义是什么？

思考3：什么是算术平均值？什么是几何平均值？

思考4：均值不等式有几个变形？

思考5：“任意两个同号的数的算术平均值不小于它们的几何平均值”的说法是否正确？为什么？

△问题2：重要不等式a

2

?b2?2ab与均值不等式的区别与联系？

三、合作探究

探究一、运用均值定理证明不等式 例1. 已知a,b同号，求证：ab?1

ab

?2，并说明等号成立的条件。

拓展：已知a,b?R?,求证：(a?

1a)(b?1

b

)?4，并说明等号成立的条件。

探究二、利用均值不等式解决实际问题

例2. （1） 一个矩形的.面积为64m2

.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36m .问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

小结：已知x、y都是正数，(1)若积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值_________;(2)若和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值_________即求用均值不等式求函数的最值时要注意成立条件：①____________②_________③_______

探究三、求函数的最值

例3. 求函数f(x)?

x2?2x?3

x

(x?0)的最小值，以及此时x的值。

拓展1：求函数f?x??x?3

x?2

(x?2)的最小值，以及此时的x的值

拓展2：求函数y?2?4

x

?x(x?0)的最

四、深化提高

1.函数y?x?

1

x

(x?0)的值域是_____________________。（思考：若x?0呢？） 2. 已知a,b?R?,且a?b?1，则11

a?b

的最小值为_______________。

（*）3.已知点P(x,y)在直线2x?y?4?0上运动，求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此

时点P的坐标。

（**）4.求函数f?x??

x2?x?4

x?1

(x?1)的最小值，以及此时x的值

五、我的学习总结：

（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结