下学期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切1

下学期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切1

二倍角的正弦、余弦、正切（第一课时）

（一）教学具准备

投影仪或多媒体设备

（二）教学目标

1．掌握 、 、 公式的推导，明确 的取值范围．

2．运用二倍角公式求三角函数值．

（三）教学过程

1．设置情境

师：我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，请大家回忆一下这组公式的来龙去脉，并请一个同学把这六个公式写在黑板上，

生：

师：很好，对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去理解它，另一方面要从公式的结构特点上去记忆，还要注意公式的正用、逆用和变用．今天，我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式

2．探索研究

师：请大家想一想，在公式 、 、 中对 、 如何合理赋值，才能出现 、 、 的表达式，并请同学把对应的等式写在黑板上．

生：可在 、 、 中，令 ，就能出现 、 、 ，对应表达式为：

即：

师：很好，看来本节课的主要任务，已经被大家轻松完成了．对于公式 ，我们似乎要注意些什么？大家想一想要关注什么？

生：要使 有意义及 ， 有意义．

师： 有意义即 ， ．

，即 ，也就是 ，可变为 ．

要使 有意义，则须 ．

综合起来就是 ，且 ， ．当 时，虽然 的值不存在，但 的值是存在的，这时求 的值可利用诱导公式，即 ．

师：对于 ，还有没有其他的形式？

生：有（板书）

∵ ∴ 或

∴

师：（板书三个公式，并告诉学生公式记号分别为 、 、 ）对二倍角公式大家要注意以下问题．（1）用 和 表示 、 ，用 表示 ，即用单角的三角函数表示复角的三角函数．（2） 有三种形式， 是有条件的．

3．例题分析

【例1】已知 ， ．求 ， ， 的值．

解：因为 ， ．所以

于是

说明：本题也可按下列程序来做，请大家比较方法之优劣．

∵ ，

∴ ，且 ，

【例2】不查表求值：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） ．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式原形以便合理运用公式．

【例3】 求证：

引导学生观察式子两边的结构，提出证题的方向．

生：左边都是单角的三角函数，右边是二倍角．又因左边比右边明显复杂得多，所以应由左边证向右边，注意把单角的.三角函数变为二倍角．

师：（板书）

证明：左边

右边

所以原式成立

【例4】化简： ．

师：这道题给我们的感觉是有些无从下手，很难看出有什么公式可以直接使用．两个角 与 似乎还有一线希望，但由于受函数名称限制难以发挥它的作用，大家都来想想看，有什么办法可以打破这一僵局（请同学们讨论）？

生：在同角三角函数的化简中，如果一个式子有弦、有切，我们可以把切化成弦．

师：好的，我们来尝试（板书）

解：

说明：本题在尝试把正切化为弦（正、余弦）后果然获得成功，其实把正切化为弦就是一条重要思想，请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律．另外本题的解答过程还反映了逆用和角公式的重要性．希望大家一并记下．

练习（投影）

（1）化简

（2）

（3）若 ，则

答案：（1） ；（2） ；（3）8

4．总结提炼

（1）在两角和的三角函数公式 、 、 中，当 时，就可以得到二倍角的三角函数公式 、 、 ，说明后者是前者的特例．

（2） 、 中角 没有限制条件，而 中，只有 和 时，才成立．

（3）二倍角公式不仅限于 是 的二倍形式，其他如 是 的2倍， 是 的二倍， 是 的二倍等等都是适用的，要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．

有三种形式 ，要依据条件，灵活选用公式．另外，逆用此公式时，更要注意结构形式．

（四）板书设计

二倍角公式

应注意几个问题：

例1

例2

例3

例4

演练反馈

总结提炼

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