函数的单调性教案一 篇一
在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。通过研究函数的单调性，我们可以更好地理解函数的变化规律，解决一些实际问题。在这篇教案中，我们将讨论函数的单调性及其应用。
首先，我们来介绍函数的单调性的定义。一个函数在定义域内是单调递增的，如果对于任意的x1和x2，当x1接下来，我们来讨论如何判断一个函数的单调性。一种方法是通过函数的导数来判断，如果函数在定义域内的导数恒大于0，则函数是单调递增的；如果函数在定义域内的导数恒小于0，则函数是单调递减的。另一种方法是通过函数的一阶导数的正负性来判断，如果函数的一阶导数在定义域内恒大于0，则函数是单调递增的；如果函数的一阶导数在定义域内恒小于0，则函数是单调递减的。
函数的单调性在实际问题中有着广泛的应用。例如，在经济学中，我们可以通过函数的单调性来分析价格和需求之间的关系；在生物学中，我们可以通过函数的单调性来研究生物种群的增长规律。因此，了解函数的单调性不仅有助于我们理解数学知识，也有助于我们解决实际问题。
综上所述，函数的单调性是数学中一个重要的概念，通过研究函数的单调性，我们可以更好地理解函数的变化规律，并应用于实际问题中。在接下来的教学中，我们将介绍更多关于函数单调性的知识，帮助学生更好地掌握这一概念。
函数的单调性教案一 篇二
在数学教学中，函数的单调性是一个重要的概念，也是学生们比较容易混淆的概念之一。在这篇教案中，我们将通过实例来讲解函数的单调性，帮助学生更好地理解这一概念。
首先，让我们来看一个例子：f(x) = x^2。我们可以通过求函数的导数来判断函数的单调性。对f(x) = x^2求导，得到f'(x) = 2x。当x>0时，f'(x) > 0，即函数在x>0时是单调递增的；当x<0时，f'(x) < 0，即函数在x<0时是单调递减的。因此，函数f(x) = x^2在定义域内是单调递增的。
接下来，让我们看另一个例子：f(x) = sin(x)。同样地，我们可以通过求函数的导数来判断函数的单调性。对f(x) = sin(x)求导，得到f'(x) = cos(x)。由于cos(x)的取值范围在[-1,1]之间，因此函数f(x) = sin(x)在定义域内既不是单调递增也不是单调递减。
通过以上两个例子，我们可以看到，函数的单调性与函数的导数密切相关。通过求导数，我们可以更准确地判断函数的单调性。在学习函数的单调性时，学生们可以通过练习更多的例题来加深理解，掌握判断函数单调性的方法。
总的来说，函数的单调性是数学中一个重要的概念，通过实例讲解可以帮助学生更好地理解这一概念。在教学中，我们可以通过丰富的例题和练习来帮助学生掌握函数的单调性，提高他们的数学能力。希望学生们在学习函数的单调性时能够有所收获，更好地理解这一概念。
函数的单调性教案一 篇三
函数的单调性（教案）一
一、三维目标 （一）、知识与技能 1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 （二）、过程与方法 1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力； 2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 （三）情感态度与价值观 1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯； 2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，简历学习数学的自信心。 二、教学重点 领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。 三、教学难
点 利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。 四、教学过程 （一）创设情景，引入新课 师：同学们，在初中的时候我们已经学过了函数图像的一些基本画法，而且我们也知道，函数的图像在一定的程度上能够反映一个函数的基本性质。那么现在就让我们通过函数的图像来进一步研究函数的性质。请同学们观察下面两组在相应区间上的函数图像，然后指出这两组图像有什么区别？ （多媒体显示下面两组图像） 第一组： 第二组： （请一位同学回答：从第一组函数的图像可以看到，图像从左到右是上升的；第二组函数图像，从左到右是下降的。 师总结：对，这位同学回答得很好。在第一组图像中，我们可以看到，在给定的区间上图像呈上升趋势；在第二组图像中，在给定区间上呈下降趋势。函数图像的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性。那么如何描述函数的“上升”“下降”呢？ （请一位同学回答。也许学生回答得不全，老师可适当提示和引导，以 为例。） 生：函数 的图像在区间 上“上升”，也就说当 在区间 上取值时，随着 的增大，相应的 值也增大；函数 的图像在区间 上“下降”，也就是说当 在区间 上取值时，相应的 值反而减小。 师：对，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容． （点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．） （二）新课讲解 师：请同学们打开课本第33页，大家一起把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍． （学生朗读．） 师：通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？ 生：我认为是一致的．定义中的“当 时，都有 ”描述了y随x的增大而增大；“当 时，都有 ”描述了y随x的增大而减少． 师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“ ”和“ 或 ”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的'性质．这就是数学的魅力！ （通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．） 师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数 和 的图象，体会这种魅力． （指图说明．） 师：图中 对于区间[a，b]上的任意 ， ，当 时，都有 ，因此 在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数 的单调增区间；而图中 对于区间[a，b]上的任意 ， ，当 时，都有 ，因此 在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数 的单调减区间． （教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．） 师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应…… （不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．） 生：较大的函数值的函数． 师：那么减函数呢？ 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数． （学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．） 师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？ （学生思索．） 学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力． （教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．） 生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语． 师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？ 生：不能．因为此时函数值是一个数． 师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？ 生：不能．比如二次函数 ，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说 是增函数或是减函数． （在学生回答问题时，教师板演函数 的图像，从“形”上感知．） 师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间． 师：还有没有其他的关键词语？ 生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语． 师：你答的很对．能解释一下为什么吗？ （学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．） 师：“属于”是什么意思？ 生：就是说两个自变量 ， 必须取自给定的区间，不能从其他区间上取． 师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？ 生：可以． 师：那么“任意”和“都有”又如何理解？ 生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要 ， 就必须都小于 ，或 都大于 ． 师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？ （让学生思考片刻．） 生：可以构造一个反例．考察函数 ，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值 ， ，显然 ，而 ， ，有 ，若由此判定 是[-2，2]上的减函数，那就错了． 师：那么如何来说明“都有”呢？ 生： 在[-2，2]上，当 ， 时，有 ；当 ， 时，有 ，这时就不能说 ，在[-2，2]上是增函数或减函数． 师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量 ， ，根据它们的函数值 和 的大小来判定函数的增减性． 师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．
