费马大定理证明过程

清浅分享2014-09-09 09:27:22 次阅读

费马大定理证明过程

原命题：Xn+Yn=Zn（其中X、Y、Z都是非零数）当n为大于２的正整数时X、Y、Z，不可能都是正整数。

证明步骤如下：我们只要证明当n为大于２的正整数时，X、Y、Z，不可能都是非零的'有理数，原命题自然成立。

对于Xn+Yn=Zn来说如果等式二边无论如何都找不到有理对应关系，那么他们还有理数解吗？我们知道等式二边所有对应关系可列成下面三种情况。

１、Xn+ Yn=Zn ２、Xn=Zn－Yn ３、Yn=Zn－Xn

分析第一种情况 Xn+ Yn=Zn

当n等于３时，X３+ Y３=Z３

一方面由于等式左边y不管取何非零值，都只能分解成关于X的二个有理因式，即：X３+ Y３＝（X+ Y）（X２+XY+ Y２）

另一方面，如果存在有理数解则Ｘ与Ｚ之间必可通过有理置换，

如：Ｚ=Ｘ+某数形式

即：等式右边Z３＝（Ｘ+某数）（Ｘ+某数）（Ｘ+某数）三个因式这样，等式一边永远无法变成Ｘ三个有理因式，等式另一边总是可以变成Ｘ三个有理因式，因此出现了矛盾。

分析第二种情况 Xn=Zn－Yn

当n等于３时 X３=Z３－Y３

一方面由于等式右边Ｙ不管取何非零值，都只能分解成关于Ｚ的二个有理因式，

即：

右边Z３－Y３＝（Z－Y）（Z２+ＺＹ+Y２）二个有理因式

另一方面，如果存在有理数解则Ｚ与Ｘ之间必可通过有理置换，

如：Ｘ=Ｚ-有理数

等式左边X３=（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）三个因式

这样，等式一边永远无法变成Ｚ三个有理因式，等式另一边总是可以变成Ｚ的三个有理因式，因此出现了矛盾。

第三种情况和第二种情况是相似的。也就是说Ｘ、Ｙ、Ｚ为非零数时，所有的排列，都找不到等式二边会有理对应关系，因此当n等于３时Ｘ、Ｙ、Ｚ不可能都是有理数，更谈不上是整数。

当n＝４时则Xn+Yn=Zn变成X４+Y４=Z

４所有的排列有下面３种：

１、X４+ Y４=Z４

２、 X４=Z４－Y４３、 Y４=Z４－X４

分析第一种情况，１、X４+ Y４=Z４一方面由于等式左边y不管取何非零值，都只能分

解成关于X的一个有理因式，另一方面，如果存在有理数解则Ｘ与Ｚ之间必可通过有理置换，如Ｚ=Ｘ+有理数

等式右边Z４＝（Ｘ+有理数）（Ｘ+有理数）（Ｘ+有理数）（Ｘ+有理数）四个有理因式。这样，等式一边永远无法变成Ｘ四个有理因式，等式另一边总是可以变成Ｘ四个有理因式，因此出现了矛盾。

分析第二种情况，２、X４=Z４－Y４

一方面由于等式右边Ｙ不管取何非零值，都只能分解成关于Ｚ的三个有理因式即：Z４

－Y４＝（Ｚ-Ｙ）（Ｚ+Ｙ）（Ｚ２+Ｙ２）另一方面，如果存在有理数解则Ｚ与Ｘ之间必可通过有理置换如：Ｘ=Ｚ-有理数

等式左边X４=（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）四个有理因式这样，等式一边永远无法变成Ｚ四个有理因式，等式另一边总是可以变成Ｚ的四个有理因式，因此出现了矛盾。

由此法不难类推，当n等于其他大于２的整数时，等于二边也无法有有理对应关费马大定理证明过程系。所以费马的结论是对的。