弦切角定理证明
弦切角定理证明
弦切角定理证明弦切角定理
编辑本段弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另 一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
编辑本段弦切角定理
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半
证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）
∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的'弧的圆周角）
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：(弦切角定理)
证明：分三种情况：
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 (2)圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E
那么，连接EC、ED、EA
则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ (弦切角定理)
(3)圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
编辑本段弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
应用举例
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.
解：连结OA，OB.
∵在Rt△ABC中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.
求证：EF∥BC.
证明：连DF.
AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，
求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
