极限 定义证明
极限 定义证明
证明，释义是指根据确实的材料判明人或事物的真实性。以下是小编收集整理的极限定义证明，仅供参考，大家一起来看看吧。
极限 定义证明
趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要
|sinx/√x|^2<ξ^2，即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞)，则x>sinx^2/ξ^2，
∵|sinx| ≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，
所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，
同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只
需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2，则当0<|x+1/2|<δ时，必有
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，
由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.
注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.
记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1，...am}，x趋于正无穷。把max{a1，...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0，M>1;
那么存在N1，当x>N1，有a/M<=f1(x)
注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)
同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)
取N=max{N1，N2...Nm};
那么当x>N，有
(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n
所以a/M<=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)
对n取极限，所以a/M<=g(x)N时成立;
令x趋于正无穷，
a/M<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;
注意这个式子对任意M>1，b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。
令M趋于正无穷，b趋于a;
有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;
这表明limg(x)=a;
证毕;
证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。
还有个看起来简单些的方法
记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;
g(x)=max{f1(x)，....fm(x)};
然后求极限就能得到limg(x)=max{a1，...am}。
其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。
有种简单点的方法，就是
max{a，b}=|a+b|/2+|a-b|/2 从而为简单代数式。
多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，
故极限可以放进去。
2
一)时函数的极限：
以 时 和 为例引入。
介绍符号: 的意义， 的直观意义。
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数。然后用这些邻域语言介绍几何意义。
例1验证 例2验证 例3验证 证 ……
(二)时函数的极限：
由 考虑 时的极限引入。
定义函数极限的“ ”定义。
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路。
例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =
为使 需有 为使 需有 于是， 倘限制 ， 就有
例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法。
几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义。
例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限 不存在。
例11设函数 在点 的某邻域内单调。若 存在， 则有
= §2 函数极限的'性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限: ， 以下以极限 为例讨论性质。均给出证明或简证。
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出。
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性( 不等式性质 ):
Th 4若 和 都存在， 且存在点 的空心邻域，使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )
註:若在Th 4的条件中， 改“ ”为“ ”， 未必就有 以 举例说明。
5.迫敛性:
6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)
(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值 )
这些极限可作为公式用。在计算一些简单极限时， 有五组基本极限作为公式用，我们将陆续证明这些公式。
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质， 把所求极限化为基本极限，代入基本极限
例1( 利用极限 和 )
例2例3註:关于 的有理分式当 时的极限。
例4 [ 利用公式 ]
例5例6例7
