第一册已知三角函数值求角(推荐3篇)

第一册已知三角函数值求角 篇一

在学习三角函数的过程中，我们经常会遇到已知三角函数值，需要求解对应角度的问题。这是一个基础而且重要的数学问题，也是我们在解三角函数方程、应用三角函数等时常会遇到的情况。在本篇文章中，我们将介绍一种常用的方法，即利用三角函数的定义和性质来求解已知三角函数值对应的角度。

首先，我们需要了解三角函数的定义和性质。在直角三角形中，对于一个锐角A，我们可以定义三个基本三角函数：正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)。正弦值定义为直角三角形中对边与斜边的比值，即sin(A) = 对边/斜边；余弦值定义为直角三角形中邻边与斜边的比值，即cos(A) = 邻边/斜边；正切值定义为直角三角形中对边与邻边的比值，即tan(A) = 对边/邻边。

我们可以利用这些定义和性质来求解已知三角函数值对应的角度。首先，我们可以根据已知的三角函数值，利用三角函数的定义来建立方程。例如，如果我们已知sin(A) = 0.5，那么我们可以得到对边/斜边 = 0.5。然后，我们可以利用一些基本的三角函数值，如sin(30°) = 0.5，来判断这个方程的解。在这个例子中，我们可以得到A = 30°或A = 150°。这是因为正弦函数是一个周期函数，在每个周期内都有两个解。

除了使用基本的三角函数值来判断方程的解之外，我们还可以利用三角函数的性质来求解已知三角函数值对应的角度。例如，对于sin(A) = 0.5这个方程，我们可以利用sin(A) = sin(180° - A)的性质来得到A = 30°或A = 150°。这是因为正弦函数是一个奇函数，在180°对称的两个角度上取相同的值。

总结起来，求解已知三角函数值对应的角度可以通过建立方程、利用基本三角函数值和运用三角函数的性质来实现。这是一个基础的数学问题，需要我们掌握三角函数的定义和性质，并能够灵活运用它们。通过不断的练习和实践，我们可以提高自己的解题能力，更加熟练地应用三角函数来解决实际问题。

第一册已知三角函数值求角 篇二

在学习三角函数的过程中，我们经常会遇到已知三角函数值，需要求解对应角度的问题。这是一个基础而且重要的数学问题，也是我们在解三角函数方程、应用三角函数等时常会遇到的情况。在本篇文章中，我们将介绍另一种常用的方法，即利用反三角函数来求解已知三角函数值对应的角度。

首先，我们需要了解反三角函数的定义和性质。反三角函数是一种将三角函数的值映射回对应角度的函数。常见的反三角函数有反正弦(asin)、反余弦(acos)和反正切(atan)。这些函数可以用来求解已知三角函数值对应的角度。

我们可以利用反三角函数来求解已知三角函数值对应的角度。以反正弦函数为例，如果我们已知sin(A) = 0.5，我们可以使用asin(0.5)来求解对应的角度A。在大多数计算器和数学软件中，反三角函数的计算都是内置的，我们只需要输入对应的三角函数值，就可以得到对应的角度。

需要注意的是，反三角函数的结果通常是一个集合，而不是唯一的一个角度。这是因为三角函数是一个周期函数，在每个周期内都有两个解。例如，对于sin(A) = 0.5这个方程，我们可以得到A = arcsin(0.5) + 2πn或A = π - arcsin(0.5) + 2πn，其中n为任意整数。这表示在每个周期内，我们都可以得到两个解。

总结起来，求解已知三角函数值对应的角度可以通过利用反三角函数来实现。这是一种常用的方法，可以方便地求解各种已知三角函数值的问题。通过掌握反三角函数的定义和性质，并能够熟练使用计算器和数学软件，我们可以更加高效地解决这类问题，并在实际应用中灵活运用三角函数的知识。

第一册已知三角函数值求角 篇三

第一册已知三角函数值求角

【教学课题】: 已知三角函数值求角

【教学目标】: 了解反三角函数的定义，掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

【教学重点】: 掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

【教学难点】: 反三角函数的定义

【教学过程】:

一． 问题的提出：

在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（ ），我们如何表示 呢？相当于 中如何用 来表示 ，这是一个反解 的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：

（1）包含锐角；（2）具有单调性；（3）能取得三角函数值域上的所有值。

显然对 ，这样的区间是 ；对 ，这样的区间是 ；对 ，这样的区间是 ；

二．新课的引入：

1．反正弦定义：

反正弦函数：函数 ， 的反函数叫做反正弦函数，记作： .

对于 注意：

（1） （相当于原来函数的值域）；

（2） （相当于原来函数的定义域）；

（3） ；

即： 相当于 内的一个角，这个角的正弦值为 。

反正弦：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正弦，记作： 。其中 ， 。

例如： ， ， ，

由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

２．反余弦定义：

反余弦函数：函数 ， 的反函数叫做反余弦函数，记作： .

对于 注意：

（1） （相当于原来函数的值域）；

（2） （相当于原来函数的定义域）；

（3） ；

即： 相当于 内的一个角，这个角的余弦值为 。

反余弦：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正弦，记作： 。其中 ， 。

例如： ， ，由于 ，故 为负值时， 表示的是钝角。

３．反正切定义：

反正切函数：函数 ， 的反函数叫做反正弦函数，记作： .

对于 注意：

（1） （相当于原来函数的值域）；

（2） （相当于原来函数的定义域）；

（3） ；

即： 相当于 内的一个角，这个角的正切值为 。

反正切：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正切，记作： 。其中 ， 。

例如： ， ， ，

对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于 对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。

练习：

三．课堂练习：

例1．请说明下列各式的含义：

(1) ； (2) ； (3） ； (4) 。

解：（1） 表示 之间的一个角，这个角的正弦值为 ，这个角是 ；

（2） 表示 之间的一个角，这个角的正弦值为 ，这个角不存在，即 的写法没有意义，与 ， 矛盾；

（3） 表示 之间的一个角，这个角的余弦值为 ，这个角是 ；

（4） 表示 之间的一个角，这个角的正切值为 。这个角是一个锐角。

例2.比较大小：（1） 与 ；（2） 与 。

解：（1）设： ， ； ， ，

则 ， ，

∵ 在 上是增函数， ，

∴ ，即 。

（2） 中 小于零， 表示负锐角，

中 虽然小于零，但 表示钝角。

即： 。

例3．已知： ， ，求： 的值。

解： 正弦值为 的角只有一个，即： ，

在 中正弦值为 的角还有一个，为钝角，即： ，

所求 的集合为： 。

注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

例4．已知： ， ，求： 的值。

解： 余弦值为 的角只有一个，即： ，

在 中余弦值为 的角还有一个，为第三象限角，即： ，

所求 的集合为： 。

例5．求证： （ ）。

证明：∵ ，∴ ，设 ， ，

则 ，即： ，即： ，

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，即： 。

例6．求证： （ ）。

证明：∵ ，∴ ，设 ， ，

则 ，即： ，即： （*），

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，即： 。

注意：（*）中不能用 来替换 ，虽然符号相同，但 ，不能用反余弦表示 。

四．课后作业。

书上：P76.练习,P77. 习题4.11。（均要准确值，划掉书上的精确到）

第一册已知三角函数值求角