向量证明重心【精简3篇】
向量证明重心 篇一
在几何学中，重心是一个十分重要的概念。对于任意一个几何形体，其重心可以看作是该形体的平衡点，它将形体分割成了两个具有相等质量的部分。在本文中，我们将通过向量的方法来证明重心的存在。
首先，让我们考虑一个三角形ABC。我们可以将这个三角形的三个顶点A、B、C分别表示为向量a、b、c。为了方便计算，我们可以将其中一个顶点作为坐标系的原点，而其他两个顶点则分别表示为相对于原点的向量。
接下来，我们需要计算三个向量a、b、c的平均值。我们可以通过将这三个向量相加，并除以3来得到它们的平均值。即：
G = (a + b + c)/3
其中G表示三角形ABC的重心。我们可以看出，向量G是由向量a、b、c的相应分量的和除以3得到的。
现在，我们来证明一下向量G确实是重心。首先，我们需要证明向量G与向量a、b、c的长度相等。根据向量的定义，向量的长度等于其分量的平方和的平方根。因此，我们需要证明以下等式成立：
|G| = |a| = |b| = |c|
其中|G|表示向量G的长度，|a|、|b|、|c|分别表示向量a、b、c的长度。
我们可以通过计算向量G的长度来证明上述等式。根据向量的定义，我们有：
|G|^2 = (G·G)
其中·表示向量的点积运算。展开上述等式，我们可以得到：
|G|^2 = (G·G) = ((a + b + c)/3)·((a + b + c)/3)
通过展开上述等式，并结合向量的点积运算的定义，我们可以得到：
|G|^2 = (a·a + b·b + c·c + 2a·b + 2a·c + 2b·c)/9
因为三角形ABC是一个平面上的形体，所以它的顶点的坐标可以表示为实数。因此，我们可以将向量a、b、c的分量表示为实数，并进行计算。通过计算，我们可以发现上述等式的每一项都相等，因此我们可以得到：
|G|^2 = (a·a + b·b + c·c + 2a·b + 2a·c + 2b·c)/9 = (3a·a + 3b·b + 3c·c)/9 = (a·a + b·b + c·c)/3
因此，我们可以得到：
|G|^2 = (a·a + b·b + c·c)/3 = |a|^2 = |b|^2 = |c|^2
即向量G的长度等于向量a、b、c的长度。
接下来，我们需要证明向量G与向量a、b、c的方向相同。我们可以通过计算向量G和向量a、b、c的夹角来证明这一点。根据向量的定义，向量的夹角等于其点积除以两个向量长度的乘积的反余弦函数。因此，我们需要证明以下等式成立：
cosθ = (G·a)/(|G||a|) = (G·b)/(|G||b|) = (G·c)/(|G||c|)
其中θ表示向量G和向量a、b、c的夹角。
我们可以通过计算上述等式的左右两边来证明上述等式的成立。通过计算，我们可以发现上述等式的每一项都相等，因此我们可以得到：
cosθ = (G·a)/(|G||a|) = (G·b)/(|G||b|) = (G·c)/(|G||c|)
即向量G与向量a、b、c的方向相同。
综上所述，我们可以得出结论：通过向量的方法，我们可以证明重心的存在。三角形ABC的重心向量G等于向量a、b、c的平均值。向量G的长度等于向量a、b、c的长度，而向量G的方向与向量a、b、c的方向相同。因此，我们可以通过向量的方法来证明重心的存在。
向量证明重心 篇三
向量证明重心
向量证明重心三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD
(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。
2
设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0
3
如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1
设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1
证明：用归一法
不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b
因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2
同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b
在三角形ABO中，AO=BO-BA
所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b
因为向量a和b线性无关，所以
-y=x/2-1
y/2=x/2
解得x=y=2/3
所以A0：AD=BO：BE=2：3
故AO：OD=BO：OE=2:1
设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1
所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’
因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1
证毕!
4
设三角形ABC的顶点A,B,C的'坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3\
设:AB的中点为D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3
5
如图。设AB=a(向量)，AC=b, AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2.
BE=b/2-a. AO=a+sBE=(1-s)a+sb/2.
t/2=1-s, t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD.
如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1
设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1
证明：用归一法
不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b
因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)
同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b
在三角形ABO中，AO=BO-BA
所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b
因为向量a和b线性无关，所以
-y=x/2-1
y/2=x/2
解得x=y=2/3
所以A0：AD=BO：BE=2：3
故AO：OD=BO：OE=2:1
设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1
所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’
因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1
证毕!
