平行线证明【优质3篇】
平行线证明 篇一
平行线是几何学中的重要概念，它在实际生活和数学推理中都有着广泛的应用。平行线的证明是几何学中常见的问题，下面我将介绍一种常用的平行线证明方法。
首先，我们需要明确平行线的定义。在欧几里得几何中，如果两条直线在同一平面上，且没有交点，那么它们被称为平行线。根据这个定义，要证明两条直线平行，我们需要找到它们之间的某种关系或特征。
一种常用的平行线证明方法是使用转角定理。转角定理指出，如果两条直线被一条直线所截，使得相邻角的对顶边互补，则这两条直线是平行的。
让我们通过一个具体的例子来说明这个方法。假设我们需要证明直线AB和CD平行。首先，我们选择一条直线EF，并让它与AB和CD相交于点G和H。接下来，我们需要证明∠AGH和∠BHG是互补角。如果我们能够证明这一点，那么根据转角定理，我们就能得出AB和CD是平行线的结论。
为了证明∠AGH和∠BHG是互补角，我们可以利用垂直角的性质。假设直线EF与AB和CD的交点分别为G和H，垂直于直线AB和CD的线段分别为MN和PQ。根据垂直角的性质，我们可以得出∠AGM和∠BHN是互补角，同时∠AGN和∠BHM也是互补角。接着，我们可以利用互补角的性质，得出∠AGN和∠BHN的和等于90度。由于∠AGH和∠AGN是相邻角，它们的和等于180度。所以，我们可以得出∠AGH和∠BHG是互补角的结论。
综上所述，根据转角定理，我们可以得出直线AB和CD是平行线的结论。通过这个例子，我们可以看到平行线的证明并不复杂，只需要运用一些基本的几何性质和定理即可。
平行线证明 篇二
平行线证明是几何学中的一个重要内容，它在实际应用中具有广泛的意义。在这篇文章中，我将介绍另一种常用的平行线证明方法——使用一组平行线的性质。
首先，我们需要明确一组平行线的定义。在欧几里得几何中，如果有两条直线分别与一组平行线相交，并且它们之间的对应角相等，那么这两条直线也是平行的。
让我们通过一个具体的例子来说明这个方法。假设我们需要证明直线AB和CD平行。我们可以先找到一组已知的平行线EF和GH，并且它们与直线AB和CD相交。接下来，我们需要证明∠AGH和∠BHG相等。如果我们能够证明这一点，那么根据一组平行线的性质，我们就能得出AB和CD是平行线的结论。
为了证明∠AGH和∠BHG相等，我们可以利用平行线的性质。假设直线EF与AB和CD的交点分别为G和H，那么根据平行线的性质，我们可以得出∠AGH和∠GHE是对应角，同时∠BHG和∠HGF也是对应角。接着，我们可以利用对应角相等的性质，得出∠AGH和∠BHG相等的结论。
综上所述，根据一组平行线的性质，我们可以得出直线AB和CD是平行线的结论。通过这个例子，我们可以看到平行线证明可以通过运用一组平行线的性质来进行推理，这种方法在实际应用中非常便捷和有效。
总结起来，平行线证明是几何学中的一个重要内容，有多种证明方法可以选择。无论是使用转角定理还是一组平行线的性质，都可以帮助我们证明两条直线是否平行。通过不断练习和应用这些方法，我们可以提高自己的几何推理能力，并在实际生活和学习中灵活运用。
平行线证明 篇三
平行线证明
平行线证明1.已知直线AB和直线CD被直线GH所截,交点分别为E.F,∠AEF=∠EFD. (1).直线AB和直线CD平行吗?为什么? (2).若EM是∠AEF的平分线,FN是∠EFD的平分线,则EM与FN平行吗?为什么?直线AB和直线CD平行 因为,∠AEF=∠EFD.所以AB平行于CD 内错角相等，两直线平行 EM与FN平行因为EM是∠AEF的平分线,FN是∠EFD的平分线,所以角MEF=1/2角AEF,角EFN=1/2角EFD 因为,∠AEF=∠EFD，所以角MEF=角EFN 所以EM与FN平行，内错角相等，两直线平行
用反证法
A平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为P
B平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为Q
假设A和B不平行，那么一定有交点。
设有交点R，那么
做三角形 PQR
PR垂直PQ QR垂直PQ
没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180
所以 A一定平行于B
证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行 则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条
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“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行 证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的'第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人﹃夕叱的 一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc
(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面
与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：
(1) 平行—没有公共点;
(2) 相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：
4. 两个平面平行具有如下性质：
(1) 两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
(2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
(3) 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
(4) 夹在两个平行平面间的平行线段相等
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用反证法
A平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为P
B平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为Q
假设A和B不平行，那么一定有交点。
设有交点R，那么
做三角形 PQR
PR垂直PQ QR垂直PQ
没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180
所以 A一定平行于B
