《1.2 应用举例》测试题及答案参考

《1.2 应用举例》测试题及答案参考

　　《1.2 应用举例（2）》测试题

　　一、选择题

　　1.有一长为米的斜坡，它的坡度为，公路建设部门根据要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度变为，则坡底将伸长( ).

　　A.米 B. 米 C. 米 D. 米

　　考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本应用.

　　答案：D.

　　解析：如图，原斜坡为，填土后的斜坡为，要求的长. 根据题意可知，，，，根据正弦定理得，∴.

　　2.(2010北京文)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( ).

　　A. B.

　　C. D.

　　考查目的：考查三角形面积公式、直角三角形边角关系或余弦定理，以及三角恒等变形能力.

　　答案：A.

　　解析：根据已知条件，四个等腰三角形的面积之和为，由直角三角形的边角关系得正方形的边长为，所以该八边形的面积为 .

　　3.(由2009浙江文改编)在中，角所对的边分别为，且满足，若．则的面积为( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函数的基本关系式、三角形面积公式、向量的数量积以及运算求解能力.

　　答案：C.

　　解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面积为.

　　二、填空题

　　4.(2011上海理)在相距2千米的两点处测量目标，若，，则两点之间的距离是 千米.

　　考查目的：考查三角形内角和定理、正弦定理的应用.

　　答案：.

　　解析：根据三角形内角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.

　　5.三角形的一边长为，这条边所对的角为，另两边之比为，则这个三角形的面积为 .

　　考查目的：考查余弦定理及三角形面积公式.

　　答案：.

　　解析：不妨设的边，，，则由余弦定理得，两式联立解得，，∴.

　　6.我舰在岛南偏西方向相距的处发现敌舰正从岛沿北偏西的方向以每小时的速度航行，若我舰要用小时追上敌舰，则我舰追击的速度为 ，方向为 (精确到).

　　考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的应用.

　　答案：小时，北偏东.

　　解析：设我舰以速度航行，在处追上敌舰. 在中，由题意知，，，，所以根据余弦定理得，，∴.设我舰追击的方向为北偏东角度，由正弦定理得，，∴，故.

　　三、解答题：

　　7.(2008上海)如图，某住宅小区的平面图呈扇形．小区的两个出入口设置在点及点处，小区里有两条笔直的小路，，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟．若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长(精确到1米)．

　　考查目的：考查利用余弦定理解决实际问题的能力以及运算求解能力.

　　答案：米

　　解析：(方法一)设该扇形的半径为米. 由题意，得米，米，.在中， 即，解得(米).

　　(方法二)连接，作，交于，由题意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).

　　8.在中，的对边分别为，为边上的高，且，试求的最大值.

　　考查目的：考查余弦定理、三角形面积公式、三角函数的恒等变形和性质以及运算求解能力.

　　答案：.

　　解析：由余弦定理，得. 两边同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中为锐角，且)，∴的最大值为.

　　数学的三次危机——第一次数学危机

　　从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

　　在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。

　　数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。

　　一、第一次数学危机

　　从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

　　整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

　　有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

　　古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。

　　无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。

　　“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。泰奥多勒斯指出，面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。

　　诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？

　　在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。

　　第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。

　　回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高度、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主，以用为主的道路。而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。

　　但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。

　　高考数学冲刺指导：数列问题

　　摘要：为大家带来高考数学冲刺指导，希望大家喜欢下文!

　　近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

　　知识整合

　　1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;

　　2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，

　　进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

　　3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.

　　总结：高考数学冲刺指导就介绍到这里了，希望能帮助同学们更好的复习本门课程，更多精彩学习内容请继续关注!

　　数学的三次危机——第二次数学危机

　　二、第二次数学危机

　　十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。

　　这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：

　　“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。

　　“阿基里斯(《荷马史诗》中的善跑的英雄)追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。

　　“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。

　　“操场或旅游队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。

　　芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。

　　经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

　　无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。

　　英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。

　　当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。

　　18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

　　直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

　　波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

　　19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

　　三角函数线

　　一、知识与技能

　　1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值

　　2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；

　　3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题

　　二、过程与方法

　　1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；

　　2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.

　　三、情感、态度与价值观

　　1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识.

　　2.通过三角函数线学习，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间

　　教学重点：三角函数线的作法及其简单应用

　　教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.

　　授课类型：新授课

　　课时安排：1课时

　　教学过程：

　　一、温故而知新

　　1. 前面我们学习了利用单位圆定义三角函数，

　　复习：1单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

　　2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:

　　(1)叫做的正弦(sine),记做,即；

　　(2)叫做的余弦(cossine),记做,即；

　　(3)叫做的正切(tangent),记做,即.

　　正弦函数,余弦函数,正切函数统称为三角函数

　　师：我们那么能否在此基础上用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.

　　二、研探新知

　　(1)设角的'终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,

　　用的三角函数表示点P的坐标 ;

　　线段OM的长度|OM|= ;

　　线段MP的长度|MP|= .

　　(利用几何画板演示,角的变化过程中,角的终边和单位圆的交点坐标的变化)

　　|MP|=|y|=|sinα|, |OM|=|x|=|cosα|

　　(2)思考1:如何去掉上述等式中的绝对值符号,为此能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?

　　2.有向线段

　　我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.

　　当角的终边不在坐标轴上时, 规定：

　　(1) 以为始点、为终点的线段：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有

　　(2)以为始点、为终点的线段，当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值；其中为点的纵坐标.这样,无论那种情况都有

　　像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.

　　思考2:你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗？

　　过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.

　　(利用几何画板演示)

　　根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有

　　三、三角函数线

　　由上述四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，

　　于是有

　　我们把这三条与单位圆有关的有向线段分别称为角的正弦线,余弦线,正切线.他们统称三角函数线

　　几点说明：

　　①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

　　②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。

　　③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。

　　④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

　　思考1：角的终边在x轴或y轴上时, 角的正弦线,余弦线,正切线是怎样的?

　　思考2：观察角的终边在各位置的情形,分析三角函数线的变化情况？

　　四、师生共议，排难解惑，发展思维

　　例1.画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

　　（1）；； （2）．

　　学生练习：画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

　　（1） （2）

　　师：请大家总结这三种三角函数线的作法：

　　第一步：作出角的终边，与单位圆交于点；

　　第二步：过点作轴的垂线，设垂足为，得正弦线、余弦线；

　　第三步：过点(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为，得角的正切线.

　　特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方

　　向，分清起点和终点，书写

　　五、三角函数线的应用

　　例1. 利用三角函数线比较下列各组数的大小：

　　(1) 与 ； (2) tan与tan ；(3)；

　　(4)已知，试比较的大小.

　　例2已知是第一象限角，证明sinα+ cosα＞1;

　　分析：作单位圆，正弦sina=MP;余弦cosa=OM OP=1

　　在Rt三角形OMP中MP+OM>OP即sinα+cosα＞1;

　　课后深入探究：

　　(1) 对任意角有，sin2 + cos2 = 1

　　(2) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1,

　　例3利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：

　　（1） （2） （3）

　　例3变式 利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：

　　（1） ; （2）≤- .

　　分析：先作出满足，的角的终边，

　　然后根据已知条件确定角终边的范围.

　　六、变式练习，强化概念

　　变式1：利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：

　　（1）； 高中物理 （2）； （3）tana （4）；

　　变式2：求下列函数的定义域：

　　（1） y = (2) y = lg(3－4sin2x) .

　　七.课堂小结

　　(1)了解有向线段的概念.

　　(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦,余弦,正切函数值分别用正弦线,余弦线,正切线表示出来.

　　(3)用三角函数线理解三角函数的定义

　　（4）体会三角函数线的简单应用.

　　八、作业：

　　1课后练习第三题

　　2预习同角三角函数基本关系式

　　教学后记：本节课容量较大，使用多媒体辅助教学，几何画板动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题。这样充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高。例3变式是一个教学难点，学生会遇到三个障碍，一是：两个角的确定，二是从相等到不等式的过渡问题，三是角的集合的表示问题。教学时应让引导学生自己总结出解题方法和步骤 ，安排例3目的是为例3变式作铺垫作用，同时也降低了知识的难度，让其基础差的学生也能学习和掌握知识。另外安排课后深入探究其目的为下节内容作铺垫作用。

　　《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》测试题

　　一、选择题

　　1.下面命题中正确的是( )．

　　①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

　　②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

　　③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；

　　④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．

　　A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④

　　考查目的：考查平面与平面平行的判定.

　　答案：D.

　　解析：①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判定定理.

　　2.(2011浙江)若直线不平行于平面，且，则( )．

　　A.内的所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线

　　C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交

　　考查目的：考查直线与平面的位置关系.

　　答案：B.

　　解析：如图，在内存在直线与相交，所以A不正确；若内存在直线与平行，又∵，则∥，与题设相矛盾，∴B正确，C不正确；在内不过与交点的直线与异面，D不正确.

　　3.(2012全国理)已知正四棱柱中 ，AB=2，，E为的中点，则直线与平面BED的距离为( )．

　　A.2 B. C. D.1

　　考查目的：考查直线与平面平行的性质.

　　答案：D．

　　解析：连结交于点，连结，∵是的中点，∴，且，∴∥平面，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于，则即为所求距离. ∵底面边长为2，高为，∴，，，利用等积法得.

　　二、填空题

　　4.平面∥平面，，，则直线，的位置关系是________.

　　考查目的：考查平面与平面平行的性质.

　　答案：平行或异面.

　　解析：直线与直线没有公共点，所以直线与平行或异面.

　　5.在正方体中，E是的中点，则与平面ACE的位置关系为________.

　　考查目的：考查直线与平面平行的判定.

　　答案：平行.

　　解析：如图，连接AC、BD交于O点，连结OE，∵OE∥，而OE?平面ACE， BD平面ACE，∴∥平面ACE.

　　6.(2011福建文)如图，正方体中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面，则线段EF的长度等于_____________.

　　考查目的：考查直线与平面平行的性质.

　　答案：.

　　解析：∵∥平面，平面，平面平面，由线面平行的性质定理，得.又∵E为AD的中点，∴F是CD的中点，即EF为的中位线，∴.又∵正方体的棱长为2，∴，∴.

　　三、解答题

　　7.(2011天津改编)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点．求证：.

　　考查目的：考查直线与平面平行的判定.

　　解析：连接，.在平行四边形中，∵为的中点，∴为的中点.又∵为的中点，∴.∵平面，?平面，∴.

　　8.如图，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：

　　⑴B，C，H，G四点共面；⑵平面∥平面BCHG.

　　考查目的：考查平面与平面平行的判定．

　　答案：(略).

　　解析：⑴∵GH是的中位线，∴GH∥.又∵∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.

　　⑵∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵=EB且∥EB，∴四边形是平行四边形，∴∥GB.∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴∥平面BCHG.∵EF＝E，∴平面∥平面BCHG.

　　高中数学笔记误区分析

　　俗话说：“好记性不如烂笔头。”的确，上课时把讲的概念、公式和解题技巧记下来，把听过或看过的重要信息清晰地保存下来，有利于减轻负担，提高。但在实际中，不少同学忙于记笔记，没有处理好听、看、记和思的关系，顾此失彼，从而影响效果。这里，笔者仅就同学们在笔记中存在的几种误区进行分析，以帮助大家提高记笔记的。

　　误区之一：笔记成了教学实录

　　有的同学习惯于“教师讲，自己记，复习背，模仿”的学习，一节课下来，他们的笔记往往记了几页纸，可以说是教材和教师板书的“映射”，成了教学实录。这些同学过分依赖笔记，忽视的讲解，忽视思考，以为讲的没有听懂不要紧，只要课后认真看笔记就可以了。殊不知，这样做往往会忽视的一些精彩分析，使自己对的理解肤浅，增加学习负担，学习效率反而降低，易形成恶性循环。一般来讲，在数学的学习中，上课要以听讲和思考为主，并简明扼要地把教师讲的思路记下来，课本上叙述详细的地方可以不记或略记。同时，要记下自己的疑问或闪光的思想。如老师讲概念或公式时，主要记的发生背景、实例、分析思路、关键的推理步骤、重要结论和注意事项等；对复习讲评课，重点要记解题策略(如审题、思路分析、最优解法等)以及典型错误与原因剖析，总结过程，揭示解题规律。记笔记时，不要把笔记本记满，要留有余地，以便课后反思、整理，这样既可以提高效率，又有利于课后有针对性的复习，从而收到事半功倍的效果。

　　误区之二：笔记本成了习题集

　　翻开一些同学的数学笔记本，可以说是大全以及一些解题技巧、一题多解之类的集锦，很少涉及知识点之间的联系、思想方法的提炼及解题策略的整理，没有自己的钻研体验，笔记本成了习题集。诚然，做题是学习数学的基本途径，多积累一些习题也是必要的，但若一味做题抄

　　录，不认真领悟其中蕴含的重要数学思想和方法，是学不好数学的。经验告诉我们，少量典型习题及其解法的确要记在笔记本上，但不能就题论题，而是要把重点放在习题价值的挖掘上，即注意写好解题评注。这就好比安装在高速公路两旁的路标，它们会提醒你何时减速，何时急转弯，何时遇到岔路口等。解题也是如此，易错之处或重要的解题思想，要用简短精炼的词语作为评注，把闪光的智慧用笔头记下来，这对积累经验，提升数学素养大有裨益。隔一段时间后，再把它们拿出来推敲一番，往往会温故知新。总之，笔记应成为自己研究数学的心得，指引学习前进方向的路标。

　　误区之三：笔记本成了过期“期刊”

　　有些同学的笔记本好比过期期刊，时间一长就弃于一旁，没有发挥它应有的作用，实在可惜。事实上，许多高考优胜者的经验之一就是使自己的笔记成为个人的“学习档案”和最重要的复习。因为，好的笔记是课本知识的浓缩、补充和深化，是思维过程的展现与提炼。合理利用笔记可以节省时间，突出重点、提高效率。当然，还要经常对笔记进行阶段性整理和补充，建立有个性的学习体系。如可以分类建立“错题集”，整理每次练习和考试中出现的错误，并作剖析；还可以将笔记整理为“妙题巧解”、“方法点评”、“易错题”等类别。只要这样坚持做下去，不断扩大成果，就能克服“盲点”，走出&ldquo 高二;误区”，到了紧张的综合复习阶段，就会显得轻松、有序，还可以腾出更多的精力和时间，把所学知识系统化、信息化。