导数练习题及答案

导数练习题及答案

　　导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。以下是导数练习题及答案，欢迎阅读。

　　一、选择题

　　1．函数在某一点的导数是( )

　　A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

　　B．一个函数

　　C．一个常数，不是变数

　　D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

　　[答案] C

　　[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.

　　2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )

　　A．6 B．18

　　C．54 D．81

　　[答案] B

　　[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，

　　∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332

　　＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.

　　当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.

　　3．y＝x2在x＝1处的导数为( )

　　A．2x B．2

　　C．2＋Δx D．1

　　[答案] B

　　[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，

　　∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2

　　∴ΔyΔx＝2＋Δx

　　当Δx→0时，ΔyΔx→2

　　∴f′(1)＝2，故应选B.

　　4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的`瞬时速度为( )

　　A．37 B．38

　　C．39 D．40

　　[答案] D

　　[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，

　　∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.

　　5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )

　　A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量

　　B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率

　　C．f(x)在x0处的导数记为y′

　　D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)

　　[答案] C

　　[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.

　　6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( )

　　A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)

　　B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]

　　C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx

　　D．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx

　　[答案] D

　　[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.

　　7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )

　　A．4a B．2a＋b

　　C．b D．4a＋b

　　[答案] D

　　[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx

　　＝4a＋b＋aΔx，

　　∴y′|x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋aΔx)＝4a＋b.故应选D.

　　8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )

　　A．圆 B．抛物线

　　C．椭圆 D．直线

　　[答案] D

　　[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.

　　9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )

　　A．0 B．3

　　C．－2 D．3－2t

　　[答案] B

　　[解析] ∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，

　　∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.

　　10．设f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于( )

　　A．－1a B.2a

　　C．－1a2 D.1a2

　　[答案] C

　　[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a

　　＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.

　　二、填空题

　　11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则

　　limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；

　　limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.

　　[答案] －11，－112

　　[解析] limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx

　　＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；

　　limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx

　　＝－12f′(x0)＝－112.

　　12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．

　　[答案] 0

　　[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11

　　＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，

　　∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′|x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.

　　13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．

　　[答案] 2

　　[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，

　　∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.

　　14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．

　　[答案] 8

　　[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3

　　＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.

　　由于f(3)＝2，上式可化为

　　limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.

　　三、解答题

　　15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．

　　[解析] 由导数定义有f′(x0)

　　＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx

　　＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，

　　16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．

　　[解析] 位移公式为s＝12at2

　　∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2

　　∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，

　　∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，

　　已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，

　　∴at0＝800m/s.

　　所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

　　17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx (2)f′(1)．

　　[解析] (1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx

　　＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.

　　(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx

　　＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.

　　18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．

　　[解析] f(x)＝x＋x2 (x≥0)－x－x2 (x<0)

　　Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)

　　＝Δx＋(Δx)2 (Δx>0)－Δx－(Δx)2 (Δx<0)

　　∴limx→0＋ ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，

　　limΔx→0－ ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，

　　∵limΔx→0－ ΔyΔx≠limΔx→0＋ ΔyΔx，∴Δx→0时，ΔyΔx无极限．

　　∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)