直线的点斜式方程(精选5篇)

直线的点斜式方程 篇一

直线的点斜式方程是一种描述直线的数学表达方式，通常用于表示直线上的一点和直线的斜率。点斜式方程的形式为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距，而(x, y)则为直线上的一点坐标。

在点斜式方程中，斜率m表示直线在水平方向上的倾斜程度。当m为正值时，表示直线向上倾斜；当m为负值时，表示直线向下倾斜；当m为零时，表示直线为水平线。斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大。

截距b表示直线与y轴的交点在y轴上的坐标值。当b为正值时，表示直线与y轴的交点在y轴上方；当b为负值时，表示直线与y轴的交点在y轴下方。通过截距可以确定直线在y轴上的位置。

为了求解直线的点斜式方程，我们需要知道直线上的一个点坐标和直线的斜率。如果已知直线上的两个点坐标，我们可以通过这两点来求解直线的斜率m，并代入其中一个点的坐标和斜率值来求解截距b，从而得到直线的点斜式方程。

点斜式方程的优点在于可以直观地表示直线的倾斜程度和截距位置，方便我们对直线的特征有一个清晰的认识。同时，通过点斜式方程，我们可以方便地求解直线与坐标轴的交点，从而更好地理解直线在平面上的位置关系。

在实际问题中，点斜式方程也经常被用来描述直线的位置和特征，例如在物理学、工程学和经济学等领域。因此，了解和掌握直线的点斜式方程对于我们理解和解决实际问题具有重要的意义。

直线的点斜式方程 篇二

直线的点斜式方程是描述直线特征的一种重要数学工具，通过点斜式方程我们可以清晰地了解直线的斜率和截距，从而更好地理解直线在平面上的位置关系。

在求解直线的点斜式方程时，我们首先需要了解直线上的一个点坐标和直线的斜率。斜率m可以通过直线上的两点坐标来求解，斜率的计算公式为m = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两个点坐标。知道斜率m之后，我们可以取直线上的一个点坐标(x1, y1)，代入斜率m和点斜式方程y = mx + b中，解出截距b，从而得到直线的点斜式方程。

点斜式方程的形式为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距，而(x, y)则为直线上的一点坐标。通过点斜式方程，我们可以方便地判断直线的倾斜方向和截距位置，从而更好地理解直线的几何特征。

在实际问题中，点斜式方程也经常被用来描述直线的位置和特征。例如，在工程学中，我们可以通过点斜式方程来描述斜坡的倾斜程度和垂直高度；在经济学中，点斜式方程可以用来表示成本函数和收入函数的关系。因此，掌握直线的点斜式方程对于我们解决实际问题具有重要的意义。

总的来说，直线的点斜式方程是一种方便、直观地描述直线特征的数学工具，通过点斜式方程，我们可以更好地理解直线的几何特征和在实际问题中的应用，为我们的学习和工作提供了重要的帮助。

直线的点斜式方程 篇三

直线的点斜式方程是描述直线的一种数学表达方式，它可以帮助我们确定一条直线在平面上的位置和方向。点斜式方程的一般形式为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点。

在点斜式方程中，斜率m是直线上任意两点之间的垂直距离与水平距离的比值。斜率可以告诉我们直线的倾斜方向和角度，如果斜率为正数，则直线向上倾斜，如果斜率为负数，则直线向下倾斜，如果斜率为零，则直线水平。

另外，b代表直线与y轴的交点，也就是当x=0时，直线与y轴的交点的y坐标。通过b的值，我们可以确定直线在y轴上的位置。

为了将直线表示成点斜式方程的形式，我们需要已知直线上一点的坐标以及直线的斜率。一旦我们得到了这些信息，就可以轻松地写出直线的点斜式方程。

举个例子来说，如果我们知道直线上一点的坐标为(3,4)，而直线的斜率为-1/2，那么直线的点斜式方程可以写成y = -1/2x + 5/2。这个方程告诉我们直线的斜率为-1/2，与y轴交点为5/2。

通过点斜式方程，我们可以方便地确定直线的位置和方向，进行直线的相关计算和分析。因此，掌握直线的点斜式方程是解决许多几何和代数问题的重要技能。

直线的点斜式方程 篇四

直线的点斜式方程 篇五

¤知识要点：

1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为y?y0?k(x?x0). 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为y?kx?b.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x?x0?0，或x?x0. 4. 注意：

y?y0

?k与y?y0?k(x?x0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点x?x0

P0(x0,y0)，后者才是整条直线.

¤例题精讲：

【例1】写出下列点斜式直线方程：

（1）经过点A(2,5)，斜率是4； （2）经过点B(3,?1)，倾斜角是30.

【例2】已知直线y?kx?3k?1.（1）求直线恒经过的定点；（2）当?3?x?3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.

【例3】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l经过点P(?5,?4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．

点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

¤知识要点：

1. 两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为

y?y1x?x1

?， y2?y1x2?x1

2. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为?

xay

?1. b

3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

4. 线段P1P2中点坐标公式(¤例题精讲：

【例1】已知△ABC顶点为A(2,8),B(?4,0),C(6,0)，求过点B且

将△ABC面积平分的直线方程.

【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程

直线的一般式方程

¤知识要点：

1. 一般式：Ax?By?C?0，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程

Ax?By?

C?0(B?0)化为斜截式方程y??

x1?x2y1?y2

,). 22

AAC

x?，表示斜率为?，y轴上截距

BBB

为?

C

的直线. B

2 与直线l:Ax?By?C?0平行的直线，可设所求方程为Ax?By?C'?0；与直

线Ax?By?C?0垂直的直线，可设所求方程为Bx?Ay?C'?0. 过点P(x0,y0)的直线可写为A(x?x0)?B(y?y0)?0.

经过点M0，且平行于直线l的直线方程是A(x?x0)?B(y?y0)?0； 经过点M0，且垂直于直线l的直线方程是B(x?x0)?A(y?y0)?0.

3. 已知直线l1,l2的方程分别是：l1:A1x?B1y?C1?0（A1,B1不同时为0），l2:A?C?0（A2,B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： 2x?2By2

（1）l1?l2?A1A2?B1B2?0； （2）l1//l2?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0； （3）l1与l2重合?A1B2?A2B1?0,AC12?A2B1?0； （4）l1与l2相交?A1B2?A2B1?0.

如果A2B2C2?0时，则l1//l2?相交?

A1B1

?

. A2B2

A1B1C1ABC??；l1与l2重合?1?1?1；l1与l2A2B2C2A2B2C2

¤例题精讲：

【例1】已知直线l1：x?my?2m?2?0，l2：mx?y?1?m?0，问m为何值时：（1）l1?l2；（2）l1//l2.

【例2】（1）求经过点A(3,2)且与直线4x?y?2?0平行的直线方程；（2）求经过点B(3,0)且与直线2x?y?5?0垂直的直线方程.

【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．

点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式A(x?x0)?B(y?y0)?0而直接写出方程，即3(x?1)?4(y?3)?0，再化简而得.

两条直线的交点坐标

¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组

?A1x?B1y?C1?0

. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；?

Ax?By?C?0?222

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程?(A1x?B1y?C1)?(A2x?B2y?C2)?0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x?B1y?C1?0与A2x?B2y?C2?0的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l1: nx?y?n?1, l2: ny?x?2n.

【例2】求经过两条直线2x?y?8?0和x?2y?1?0的交点，且平行于直线4x?3y?7?0的直线方程.

两点间的距离

两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则两点间的距离为：

.

特别地，当P1,P2所在直线与x轴平行时，|PP1,P2所在直线与y轴12|?|x1?x2|

；当P

平行时，|PP1,P2在直线y?kx?b上时，|PP12|?|y1?y2|；当P12|?x1?x2|. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.

¤例题精讲：

【例1】在直线2x?y?0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为５，并求直线PM的方程.

【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.

【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|2＋|AC|2=2（|AO|2＋|OC|2）.

点到直线的距离及两平行线距离

¤知识要点：1. 点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离公式为

d?

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线l1:Ax?By?C1?0，

l2:Ax?By?C2?0之间的距离公式d?

，推导过程为：在直线l2上任取一

y?C0，即A

xy??C点P(x0,y0)，则Ax0?B02?

0?B02. 这时点P(x0,y0)到直线l1:Ax?By?C1?0的距离为d?

?

.

¤例题精讲：

【例1】求过直线l1:y??x?

1310

和l2:3x?y?0的交点并且与原点相距为1的直线3

l的方程.

【例2】在函数y?4x2的图象上求一点P，使P到直线y?4x?5的`距离最短，并求这个最短的距离.

圆的标准方程

¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.

2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；

（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程. ¤例题精讲： 【例1】过点A(1,?1)、B(?1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（ ）. A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4 C.（x－1）2＋（y－1）2＝4 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点A(?2,0)，圆心在(3,?2)；（2）圆心在直线2x?y?7?0上的圆C与y轴交于两点A(0,?4),B(0,?2)

圆的一般方程

¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程x2?y2?Dx?Ey?F?0 （D2?E2?4F?0）表示圆心是(?,?

)D2

E2

. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标(x,y)满足的关系式.

¤例题精讲：

【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,－1)的圆的方程.

【例2】设方程x2?y2?2(m?3)x?2(1?4m2)y?16m4?7m2?9?0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.

直线与圆的位置关系

¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；

方法二：利用圆心（a,b）到直线Ax?By?C?

0的距离d?

，比较d

与r的大小.

（1）相交?d?r? ??0；（2）相切?d?r???0；（3）相离?d?r???0. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式

1】若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值

【例2】求直线l:2x?y?2?0被圆C:(x?3)2?y2?9所截得的弦长.

圆与圆的位置关系

¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，则：

（1）两圆相交?|r1?r2|?|O1O2|?r1?r2；（2）两圆外切?|O1O2|?r1?r2；（3）两圆内切?|O1O2|?|r1?r2|； ¤例题精讲：【例1】已知圆C1：x2?y2?6x?6?0①，圆C2：x2?y2?4y?6?0② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.

【例2】求经过两圆x2?y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交点，并且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程.

课后练习 一、选择题

1．设直线ax?by?c?0的倾斜角为?，且sin??cos??0， 则a,b满足（ ） A．a?b?1

B．a?b?1

C．a?b?0

D．a?b?0

2．过点P(?1,3)且垂直于直线x?2y?3?0 的直线方程为（ ）

A．2x?y?1?0 B．2x?y?5?0 C．x?2y?5?0 D．x?2y?7?0 3．已知过点A(?2,m)和B(m,4)的直线与直线2x?y?1?0平行，

则m的值为（ ）

A．0 B．?8 C．2 D．10

4．已知ab?0,bc?0，则直线ax?by?c通过（ ）

A第一二三象限 B第一二四象限 C第一三四象限 D．第二三四象限 5．直线x?1的倾斜角和斜率分别是（ ） A．450,1

B．1350,?1 C．900，不存在 D．1800，不存在

6若方程(2m2?m?3)x?(m2?m)y?4m?1?0表示一条直线，则实数m满足（ ） A．m?0 B．m??二、填空题

1．点P(1,?1) 到直线x?y?1?0的距离是________________.

2．已知直线l1:y?2x?3,若l2与l1关于y轴对称，则l2的方程为__________; 若l3与l1关于x轴对称，则l3的方程为_________; 若l4与l1关于y?x对称，则l4的方程为___________;

3．若原点在直线l上的射影为(2,?1)，则l的方程为____________________。 4．点P(x,y)在直线x?y?4?0上，则x2?y2的最小值是________________. 5．直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为

B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为________________。

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C．m?1 D．m?1，m??，m?0 22

三、解答题

1．已知直线Ax?By?C?0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x轴相交； （4）系数满足什么条件时是x轴；

（5）设P?x0，y0?为直线Ax?By?C?0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A?x?x0??B?y?y0??0．

2．求经过直线l1:2x?3y?5?0,l2:3x?2y?3?0的交点且平行于直线

2x?y?3?0的直线方程。

3．经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。

4．过点A(?5,?4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面

积为5．