高中数学竞赛练习题
高中数学竞赛练习题
第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)
一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()
－－
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ1(x)D．y=－φ1(－x)2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<13．平面上有三个点集M，N，P：
M={(x，y)||x|+|y|<1}，
N={(x，y)|
(x－2+(y+)2+
22
(x2+(y－2<22}，22
P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则
A．M??P??NB．M??N??PC．P??N??MD．A、B、C都不成立4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有π
命题甲：θ>
3
命题乙：a、b、c相交于一点．则
A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠?．⑶M≠?．⑷P≠?中，正确的表达式的个数是
A．1B．2C．3D．4二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
b－b1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么=
a2－a12．x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
DE
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则=
BC
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，??直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．
三．(15分)2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．
11
五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个n∈N*，
ab(a+b)n－an－bn?22n－2n+1．
1988年全国高中数学联赛二试题
一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，
?5an+1－3an(an·an+1为偶数)，an+2=?
an+1为奇数)．?an+1－an(an·
试证：对一切n∈N*，an≠0．
S?PQR2
二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB>．
S?ABC9
A
HQB
RC
三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，??，ln，?的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，??)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，??)；⑶knkn+1?0，(n=1，2，3，??)．并证明你的结论．
1988年全国高中数学联赛解答
一试题
一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()
－－
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ1(x)D．y=－φ1(－x)
－－
解：第二个函数是y=φ1(x)．第三个函数是－x=φ1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．
2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<1解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1<0，选D．3．平面上有三个点集M，N，P：
M={(x，y)||x|+|y|<1}，
N={(x，y)|
(x－2+(y+)2+
22
(x2+(y－2<22}，22
P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则
A．M??P??NB．M??N??PC．P??N??MD．A、B、C都不成立
解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N表1111
示焦点为()，(－)，长轴为22的椭圆内部的点的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1围成
2222的六边形内部的点的集合．故选A．
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有
π
命题甲：θ>
3
命题乙：a、b、c相交于一点．则
A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对
ππ
解：a，b，c或平行，或交于一点．但当a∥b∥c时，θ=．当它们交于一点时，θ<π．选C．
335．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过
1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠?．⑶M≠?．⑷P≠?中，正确的表达式的个数是
A．1B．2C．3D．4解：均正确，选D．
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
b4－b3
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么=
a2－a1b4－b3812
解：a2－a1=y－x)，b4－b3=(y－x)，?．
43a2－a13
2．x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．解：(x+2)2n+1－(x－2)2n+1=2(C2n+12xn+C2n+123xn1+C2n+125xn2+?+C2n+122n+1)．
－
－
1352n+1
1
令x=1，得所求系数和=(32n+1+1)．
2
DE
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则=
BCDEAD
解：△AED∽△ABC，==|cosα|．
BCAC
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，??直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．
解画1行14个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对应关系．故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．
∴共有C14种比赛方式．
三．(15分)2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作
AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE==
6π623V=)2=．同样，33392△BCD旋转所得旋转体的体积=．
9
其重叠部分也是两个圆锥，由△DOM∽△DAB，DO=1633
∴其体积=()2．
342823323
∴所求体积=－π=3π．
9872
四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－
1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．
1111111
解：Z1=－，故得|－－Z0|=|，即|ZZ0+1|=1．|Z+=||．即以－||为半径的圆．
ZZZZ0Z0Z0Z011
五．(15分)已知a、b为正实数，且1．试证：对每一个n∈N*，
ab(a+b)n－an－bn?22n－2n+1．
证明：由已知得a+b=ab．又a+b?2ab，∴ab?2ab，故a+b=ab?4．于是(a+b)k=(ab)k?22k．又ak+bk?2ab=2(a+b)?2k+1．下面用数学归纳法证明：1°当n=1时，左=右=0．左?右成立．2°设当n=k(k?1，k∈N)时结论成立，即(a+b)k－ak－bk?22k－2k+1成立．
－－
则(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak1+bk1)
－－
=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ab(ak1+bk1)?4?(22k－2k+1)+4?2k=22(k+1)－4?2k+1+4?2k=22(k+1)－2(k+1)+1．即命题
对于n=k+1也成立．
故对于一切n∈N*，命题成立．
二试题
一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，
3DO·AB6OM==．2DA4
2
3
AOC
7
B
?5an+1－3an(an·an+1为偶数)，an+2=?
an+1为奇数)．?an+1－an(an·
试证：对一切n∈N*，an≠0．（1988年全国高中竞赛试题）
分析：改证an?0(mod4)或an?0(mod3)．
证明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29，??∴a1≡1，a2≡2，a3≡3(mod4)．
设a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3(mod4)．
则a3k+1≡533－33
又证：a1≡1，a2≡2(mod3)．
设a2k－1≡1，a2k≡2(mod3)成立，则
当a2k－1?a2k为偶数时a2k+1≡532－331≡1(mod3)，当a2k－1?a2k为奇数时a2k+1≡2－1≡1(mod3)，总之a2k+1≡1(mod3)．
当a2k?a2k+1为偶数时a2k+2≡531－332≡2(mod3)，当a2k?a2k+1为奇数时a2k+2≡1－2≡2(mod3)，总之，a2k+2≡2(mod3)．于是an?0(mod3)．故an≠0．
S?PQR2
二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB>．
S?ABC9
A
HQB
RC
1
证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．设△ABC的周长为1．则PQ=．
3则
SPQ·RHPQAR1PQ2
=，但AB<>，
CNABAC2AB3S?ABCAB·
111111AR1S2
AP?AB－PQ<－，∴ar=ap>，AC<，故>
236362AC3S?ABC9
三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，??，ln，?的直线
族，它满足条件：
⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，??)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，??)；⑶knkn+1?0，(n=1，2，3，??)．并证明你的结论．
证明：设an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn≠±1．11
现设kn≠0，1，则y=kn(x－1)+1，得bn=1－kn，an=1－kn+1=kn－knkn+1=kn2－1．
knkn∴kn>1或kn<－1．从而k1>1或k1<－1．
11
⑴当k1>1时，由于0<，故k1>k2=k1－，若k2>1，则又有k1>k2>k3>0，依此类推，知当km>1
k1k1
111
时，有k1>k2>k3>??>km>km+1>0，且0<<?<<1，
k1k2km
11112m
km+1=km－km－=km－1－km－1－?<k1－．
kmk1k1k1km－1k1
mm由于k1－随m的增大而线性减小，故必存在一个m值，m=m0，使k1－?1，从而必存在一个m值
k1k1
m=m1?m0，使km1－1?1，而1>km1=km1－1－
即此时不存在这样的直线族．
11
⑵当k1<－1时，同样有－1<，得k1<k2=k1－<0．若k2<－1，又有k1<k2<k3<0，依此类推，知当
k1k1
>0，此时km1·km1+1<0．
km1－11
高二数学竞赛试题篇二：2014年全国高中数学联赛试题
2014年全国高中数学联赛试题(A卷一试)
2014年全国高中数学联赛试题(A卷二试)
高二数学竞赛试题篇三：高二数学竞赛试题数学竞赛题及答案
高二数学竞赛试题
第一试选择题（20?5=100分）
1.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）
A4x?2y?5B4x?2y?5Cx?2y?5Dx?2y?5
2.直线xcos?＋y＋m=0的倾斜角范围是（）
??3?????????3????????3??A.?,?B.?0,???,??C.?0,?D.?,???,??4??44??4??4??42??24?
3.已知直线3和6互相平行，则它们之间的`距离是（）x?2y?3?0x?my?1?0
A.4B.257C.D.132626
24．如果函数f(x)?x?2(a?1)x?2在区间???,4?上单调递减，那么实数a取值范围是：
A、a??3B、a??3C、a?5D、a?5
5
．方程y?）
Ａ一条射线Ｂ一个圆Ｃ两条射线Ｄ半个圆
6．如果直线x－my＋2＝0与圆x?(y?1)?1有两个不同的交点，则（）
A．m≥2234B．m＞34C．m＜34D．m≤34
7．设a,b,c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c＝0
与bx-sinB·y+sinC＝0的位置关系是()
A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直
?1?5?x
8.函数f(x)??x?5?1x?0x?0，则该函数为（）
A.单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数
C.单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数
9.设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）
2
222
31
1正视图侧视图俯视图（圆和正方形）
A.4+5?3??B.4+C.4+D.4+?222
10．某程序框图如右图所示，现将输出（x,y)值依
次记为：(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),?;若程序运行中
输出的一个数组是(x,?10),则数组中的x?（）
A．64B．32C．16D．8
11.已知??
[5?3?,]）42
A．2sin?B.?2sin?C.?2cos?D.2cos?
12.在平面区域(x,y)|x|?1,|y|?1上恒有ax?2by?2，则动点??
P(a,b)所形成平面区域的面积为（）
A.4B.8C.16D.32
13.已知a?[?1,1]，则x?(a?4)x?4?2a?0的解为（）
A.x?3或x?2B.x?2或x?1C.x?3或x?1D.2
1?x?3
14.点A（1，3），B（5，－2），点P在x轴上使|AP|－|BP|最大，则P的坐标为（）
A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)
?2x?y?2?0?2215.如果点P在平面区域?x?2y?1?0上，点Q在曲线x?(y?2)?1上，那么PQ的最小
?x?y?2?0?
值为（）
（A）5?1（B）4
5?1（C）22?1（D）2?1
16.两平行直线分别过（1，5），（－2，1）两点，设两直线间的距离为d，则（）
A．d=3B．d=4C．3≤d≤4D．0<d≤5
17.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）
A．xB．2CxD．3?2y?5?0x?y?4?0?3y?7?0x?y?5?0
18.直线l1与l2关于直线x+y=0对称，l1的方程为y=ax+b，则l2的方程为（）
A．y?xbxb?B．y??aaaa
222C．y?x1?abD．y?2x?ba19.M（x0，y0）为圆x+y=a（a>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a与该圆的位置关系是（）
A．相切B．相交
20.已知函数f(x)?sin(2x?C．相离D．相切或相交????)?m在?0,?上有两个零点，则m的取值范围为（）6?2?
A.??1??1??1??(来自:博文学习网:高二数学竞赛试题)1?,1?B?,1?C.?,1?D.?,1??2??2??2??2?
第二试填空题（20?5=100分）
21．已知集合A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?N，且A?B?N?{1}，则a?b?__________.
22．已知正项等比数列{an}的公比q?1，且a2,a4,a5成等差数列，则
23．已知数列{an}满足：a1为正整数，
?an?,an为偶数,an?1??2??3an?1,an为奇数,
如果a1?a2?a3?29，则a1?．a1?a4?a7?．a3?a6?a9
????
24.向量a?(1,sin?)，b?(cos?，??R，则a?b的取值范围为。
25.空间四点A，B，C，D两两间的距离均为1，点P与点Q分别在线段AB与CD上运动，则点P与点Q间的最小距离为____________；??????????????????0?OP?OA?126.向量OA??1,0?,OB??1,1?,O为坐标原点，动点P?x,y?满足?,则点??????????0?OP?OB?2
Q?x?y,y?构成的图形的面积为__________.
27.设有非空集合A??1,2,3,4,5,6,7?且当a?A时，必有8?a?A，这样的集合A的个数是__________.
28．用不等式组表示以点（-3，-1）、（1，3）、（3，－3）为顶点的三角形内部，该不等式组为__________.
?x?1?y?1?29.已知M,N是?所围成的区域内的不同两点，则|MN|的最大值是__________.．．x?y?1?0???x?y?6
?x?y?2?0y?30.已知变量x,y满足约束条件?x?1，则的取值范围是__________.x?x?y?7?0?
31．已知点P?2,?3?,Q?3,2?，直线ax+3y+2=0与线段PQ相交，则实数a的取值范围
是__________.
32.若直线l经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为．
33．若点N（a,b）满足方程关系式a＋b－4a－14b＋45=0，则u?
为__________.
22b?3的最大值a?2
34．设P(x,y)为圆x＋(y－1)=1上任一点，要使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则m的取值范
围是__________.
2235．圆x+y+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=__________.
36．两直线(m?2)x?y?m?0,x?y?0与x轴相交且能构成三角形，则m满足的条件是.
37．已知点A（-5，4）和B（3，2），则过点C（-1，2）且与A,B的距离相等的直线方程为__________.
38．已知关于x的方程lg?kx??2lg?x?1?仅有一个实数解，则实数k的取值范围是__________.
39．在△ABC中，角A,B,C的对边长a,b,c满足a?c?2b，且C?2A，则sinA?__________.
40．在△ABC中，AB?BC?2，AC?3．设O是△ABC的内心，若AO?pAB?qAC，则为__________.
p的值q22
数学竞赛答案
一．选择题1~5BBDAD
6~10BCAAB
11~15DACBA
16~20DABCC
二、填空题
21.1
22.3?2
23.524.[1，3]25.226.22
?y?x?2?0?27.1528.?y?3x?6?0
?3y?x?6?0?
29.?87?30.[9，6]31.?,5???32?
32.x+y－5=0或x－y+1=033.2+334.[－1，+∞）35.2
36.m≠0且m≠－2且m≠－337.x=－1或x+4y－7=0
38.（－∞,0]∪{4}39.
7340.24
1.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（B）
A4x?2y?5B4x?2y?5Cx?2y?5Dx?2y?5
2.直线xcos?＋y＋m=0的倾斜角范围是（B）
??3?????????3????????3??A.?,?B.?0,???,??C.?0,?D.?,???,?444444224????????????
3.已知直线3和6互相平行，则它们之间的距离是（D）x?2y?3?0x?my?1?0
A.4B.
2257C.D.1326264．如果函数f(x)?x?2(a?1)x?2在区间???,4?上单调递减，那么实数a取值范围是：
A、a≤?3B、a≥?3C、a≤5D、a≥5A
5
．方程y?Ｄ）
Ａ一条射线Ｂ一个圆Ｃ两条射线Ｄ半个圆
6．如果直线x－my＋2＝0与圆x?(y?1)?1有两个不同的交点，则（B）
A．m≥2234B．m＞34C．m＜34D．m≤34
7．设a,b,c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c＝0与bx-sinB·y+sinC＝0的位置关系是(C)
A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直
?1?5?x
8.函数f(x)??x?5?1x?0x?0，则该函数为（A）
B.单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数
C.单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数
解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。
9.设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（A）
