二次函数的知识点总结【精彩3篇】
二次函数的知识点总结 篇一
二次函数是高中数学中的重要内容，它是一种以二次方程为表达式的函数。在学习二次函数时，我们需要掌握一些基本的知识点，下面我将对这些知识点进行总结。
1. 二次函数的定义
二次函数是指函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。其中，a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了二次函数的对称轴的位置；c表示二次函数与y轴的交点。
2. 二次函数的图像特征
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向、顶点位置和对称轴位置等特征与函数的系数有关。通过分析函数的系数，我们可以得到以下结论：
- 当a>0时，二次函数的图像开口向上；
- 当a<0时，二次函数的图像开口向下；
- 二次函数的顶点位置为(-b/2a, f(-b/2a))；
- 二次函数的对称轴方程为x = -b/2a。
3. 二次函数的零点
二次函数的零点是指函数的解析式中，使得f(x) = 0的x值。根据二次方程的求根公式，我们可以得到二次函数的零点。当判别式D=b^2-4ac大于0时，二次函数有两个不相等的实根；当D=0时，二次函数有两个相等的实根；当D小于0时，二次函数没有实根，但可能有复数根。
4. 二次函数的平移和伸缩
通过改变二次函数的系数，我们可以实现对二次函数的平移和伸缩。具体而言，当二次函数的系数发生变化时，我们可以得到以下结论：
- 当a>1时，二次函数的图像变窄，开口向上；
- 当0 - 当a<0时，二次函数的图像变窄，开口向下； - 当|a|>1时，二次函数的图像变窄，开口向下； - 当|a|<1时，二次函数的图像变宽，开口向下； - 当|a|和|b|同时增大时，二次函数的图像变窄。 通过对以上知识点的总结，我们可以更好地理解和掌握二次函数的概念和性质。在解题过程中，我们可以根据二次函数的定义、图像特征、零点和平移伸缩等知识点，灵活运用，解决各种与二次函数相关的问题。掌握二次函数的知识，对我们的数学学习和应用都有着重要的意义。 在前一篇文章中，我们总结了二次函数的定义、图像特征、零点和平移伸缩等基本知识点。在本篇文章中，我们将继续探讨二次函数的其他重要概念和应用。 1. 二次函数的最值 二次函数的最值是指函数的最大值和最小值。当二次函数的开口向上时，最小值为f(-b/2a)；当二次函数的开口向下时，最大值为f(-b/2a)。通过求解二次函数的最值，我们可以进一步了解函数的性质和图像特征。 2. 二次函数的判定式 二次函数的判定式是指判断二次函数的开口方向和零点个数的依据。判定式D=b^2-4ac与二次函数的系数相关。当D>0时，二次函数有两个不相等的实根，图像与x轴有两个交点；当D=0时，二次函数有两个相等的实根，图像与x轴有一个交点；当D<0时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。 3. 二次函数与二次方程的联系 二次函数与二次方程是密切相关的，它们之间有着紧密的联系。具体而言，二次函数的解析式f(x) = ax^2 + bx + c可以化为二次方程ax^2 + bx + c = 0，通过求解二次方程的解可以得到二次函数的零点。同时，二次函数的图像特征也可以通过二次方程的判定式进行判断。 4. 二次函数的应用 二次函数在实际问题中有着广泛的应用。例如，抛物线的形状和路径可以用二次函数进行描述；二次函数可以用来模拟自然界中的动态规律，如物体的抛体运动等。掌握二次函数的知识，可以帮助我们解决实际问题，提高数学应用能力。 通过对二次函数的知识点的总结和应用的探讨，我们可以更加全面地了解和掌握二次函数的概念和性质。二次函数是数学中的重要内容，它不仅在高中数学中有着重要地位，而且在大学数学和实际问题的解决中也有着广泛的应用。通过深入学习和应用，我们可以更好地理解和运用二次函数，提高数学学习的效果。 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） V.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)． 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的'增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x| 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a． 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)． (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)． (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)． 7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
二次函数的知识点总结 篇二
二次函数的知识点总结 篇三
