证明函数单调性的方法总结【精选3篇】

证明函数单调性的方法总结 篇一

函数的单调性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在定义域内的增减性质。证明函数的单调性对于解决一些函数问题，如求函数的最大值、最小值等有着重要的作用。本篇文章将总结几种常用的证明函数单调性的方法。

一、导数法

导数法是证明函数单调性的常用方法之一。对于一个可导的函数，若在定义域内导数恒大于零，则函数单调递增；若导数恒小于零，则函数单调递减。这是因为导数表示函数的变化率，若导数恒大于零，则函数在定义域内的变化率始终为正，即函数递增。

二、区间法

区间法是一种直观的证明函数单调性的方法。对于一个给定的函数，可以将其定义域分为若干个区间，然后对每个区间进行分析。若在每个区间内，函数的增减性质保持一致，则可以得出函数在整个定义域内的单调性。这种方法需要对函数的定义域进行充分的分析，可以根据函数的性质和图像来确定区间。

三、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是微分学中的重要定理之一，也可以用来证明函数的单调性。该定理表明，若函数在一个闭区间内连续，在开区间内可导，则在该开区间内至少存在一个点，使得函数在该点的导数等于函数在闭区间的两个端点的斜率。通过利用拉格朗日中值定理，可以推导出函数的单调性。

四、二阶导数法

二阶导数法是证明函数单调性的一种常用方法。对于一个可导的函数，如果在定义域内的某个区间内，二阶导数恒大于零，则函数在该区间内单调递增；如果二阶导数恒小于零，则函数在该区间内单调递减。这是因为二阶导数表示函数的变化率的变化率，若二阶导数恒大于零，则函数的变化率在该区间内始终为正，即函数递增。

五、直接证明法

直接证明法是一种简单直接的证明函数单调性的方法。对于一个给定的函数，可以利用其定义，通过代数运算和逻辑推理，直接证明其单调性。这种方法通常需要对函数定义域的不等式进行推导和分析，需要一定的代数运算和逻辑推理能力。

总结：证明函数单调性的方法有多种多样，可以根据具体的函数和问题选择合适的方法。导数法、区间法、拉格朗日中值定理、二阶导数法和直接证明法是常用的证明函数单调性的方法。在实际应用中，可以根据问题的特点和要求选择合适的方法进行证明。同时，对于复杂的函数和问题，可能需要结合多种方法来进行综合分析和证明。

证明函数单调性的方法总结 篇三

证明函数单调性的方法总结

　　函数的单调性是函数的一个重要性质，下面是小编整理的证明函数单调性的方法总结，希望对大家有帮助！

　　1、定义法:

　　利用定义证明函数单调性的一般步骤是：

　　①任取x1、x2∈D，且x1<x2；

　　②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；

　　③依据差式的符号确定其增减性。

　　2、导数法:

　　设函数y＝f(x)在某区间D内可导。如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数。

　　注意：(补充)

　　（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，

　　则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；

　　如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数。

　　（2）单调性的判断方法：

　　定义法及导数法、图象法、

　　复合函数的单调性(同增异减)、

　　用已知函数的单调性等

　　（补充）单调性的有关结论

　　1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，

　　则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数。

　　2、若f(x)为增(减)函数，

　　则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，

　　则

　　为减(增）函数，

　　为增（减）函数

　　3、互为反函数的两个函数有相同的单调性。

　　4、y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，

　　若f(x)与g(x)的单调性相同，

　　则其复合函数f[g(x)]为增函数；

　　若f(x)、g(x)的单调性相反，

　　则其复合函数f[g(x)]为减函数。简称”同增异减”

　　5. 奇函数在关于原点对称的.两个区间上的单调性相同；

　　偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

　　函数单调性的应用

　　(1)求某些函数的值域或最值。

　　(2)比较函数值或自变量值的大小。

　　(3)解、证不等式。

　　(4)求参数的取值范围或值。

　　(5)作函数图象。