数列通项公式方法总结(精彩3篇)

数列通项公式方法总结 篇一

数列通项公式是数学中的重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。在求解数列问题时，通过推导数列的通项公式，可以更加方便地计算和预测数列中的各项数值。本文将对数列通项公式的求解方法进行总结和介绍。

首先，我们需要明确数列的定义和性质。数列是按照一定规律排列的一系列数，其中每个数被称为该数列的项。数列的项号表示数列中的位置，通常用正整数表示。数列的通项公式是指通过项号来表示数列中各项与项号之间的关系的公式。

求解数列通项公式的方法有很多种，下面我们介绍几种常见的方法。

一、直接法

直接法是最直接、最简单的方法。其基本思想是通过观察数列的规律，找出数列中相邻项之间的关系，然后利用已知的项号和数值来推导出通项公式。这种方法适用于数列规律比较明显的情况，例如等差数列和等比数列。

以等差数列为例，设数列的首项为a?，公差为d，项号为n，数列的通项公式为an = a? + (n - 1)d。在这个公式中，a?表示首项，d表示公差，n表示项号，an表示第n项的数值。

二、递推法

递推法是通过已知项号和数值，推导出相邻项之间的关系，从而得到通项公式。递推法通常适用于数列中相邻项之间存在一定的递推关系的情况，例如斐波那契数列。

以斐波那契数列为例，数列的前两项分别为1和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。根据这个递推关系，可以推导出斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2。

三、数学归纳法

数学归纳法是一种证明方法，但在求解数列通项公式时也可以借用其思想。数学归纳法的基本思想是先证明数列中的某一项成立，然后假设某一项成立时，下一项也成立，再由此推导出通项公式。

以上是几种常见的求解数列通项公式的方法。在实际应用中，根据数列的特点和已知条件选择合适的方法进行求解，可以更加高效地解决问题。求解数列通项公式的过程中，观察和分析数列的规律是关键，只有理解数列的特点和性质，才能更好地推导出通项公式。

数列通项公式方法总结 篇二

数列通项公式是数学中的重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。在求解数列问题时，通过推导数列的通项公式，可以更加方便地计算和预测数列中的各项数值。本文将继续总结和介绍数列通项公式的求解方法。

四、差分法

差分法是一种通过计算数列的相邻项之间的差值来推导通项公式的方法。这种方法通常适用于数列存在一定规律的情况，例如二次数列。

以二次数列为例，设数列的通项公式为an = an2 + bn + c。通过计算相邻项之间的差值，可以得到一次数列，再通过一次数列的通项公式推导出二次数列的通项公式。

五、递归法

递归法是一种通过定义数列的前几项和递归关系来推导通项公式的方法。这种方法通常适用于数列中每一项都与前几项有关的情况，例如反比数列。

以反比数列为例，设数列的首项为a?，公比为r，项号为n，数列的通项公式为an = a?/(n^r)。在这个公式中，a?表示首项，r表示公比，n表示项号，an表示第n项的数值。

六、解方程法

解方程法是一种通过解方程组来推导通项公式的方法。这种方法通常适用于数列中存在多个条件的情况，例如混合数列。

以混合数列为例，设数列的通项公式为an = an2 + bn + c。通过已知条件和项号，可以列出方程组，并解方程组得到通项公式。

通过以上总结，我们可以看到求解数列通项公式的方法多种多样，不同的数列问题适用不同的方法。在实际应用中，根据数列的特点和已知条件选择合适的方法进行求解，可以更加高效地解决问题。同时，对数列的规律进行观察和分析是推导通项公式的关键，只有深入理解数列的特点和性质，才能更好地推导出通项公式。

数列通项公式方法总结 篇三

数列通项公式方法总结

　　数列既是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合题、主观题的形式出现，难度较大，以下是小编整理数列通项公式方法总结的资料，欢迎阅读参考。

　　不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。

　　一、已知数列的前几项

　　已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。

　　例1、求数列的通项公式

　　（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……

　　（2）9，99，999，……

　　分析：（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的.平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。

　　（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。

　　此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。

　　二、已知数列的前n项和Sn

　　已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）

　　例2、已知数列{an }的前n项和Sn=2n+3，求an

　　分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an

　　Sn——1＝a1+a2 +……+an——1

　　上两式相减得 Sn -Sn——1=an

　　解：当n=1时，a1=S1=5

　　当n≥2时，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1

　　∵n=1不适合上式

　　∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）

　　三、已知an与Sn关系

　　已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。

　　（1）an=an——1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。

　　例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1+8，求an。

　　分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。

　　（2）an=kan——1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。

　　例4、数列{an}的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）

　　求数列{an}的通项公式。

　　分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。

　　解：由an+1=2Sn+1

　　得an=2Sn-1+1（n≥2）

　　两式相减，得an+1-an=2an

　　∴an+1=3an （n≥2）

　　∵a2=2Sn+1=3

　　∴a2=3a1

　　∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列

　　∴an=3n-1

　　（3）an+1=an+f（n），用叠加法

　　思路：令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2=a1+f（1）

　　a3=a2+f（2）

　　a4=a3+f（3）

　　……

　　+an=an——1+f（n-1）

　　an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）

　　例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n

　　则{an}的通项公式=（ ）

　　解：∵an+1=an+2n

　　∴a2 =a1+2×1

　　a3=a2+2×2

　　a4=a3+2×3

　　……

　　+an=an——1+2（n-1）

　　an=a1+2（1+2+3+…+n-1）

　　=2+2×（1+n-1）（n-1）

　　=n2-n+2

　　（4）an+1=f（n）an，用累积法

　　思路：令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3

　　……

　　×）an=f（n-1）an-1

　　an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）

　　例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（ ）

　　解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1

　　a3=22a2 a4=23a3

　　……

　　×） an=2n——1·an——1

　　an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2

　　（5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）

　　an+1=an+p·qn（pq≠0），

　　an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）

　　（p、q、r为常数）

　　这些类型均可用构造法或迭代法。

　　①an=pan——1+q （p、q为常数）

　　构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。

　　将关系式两边都加上x

　　得an+x=Pan——1+q+x

　　=P（an——1 + q+x/p）

　　令x=q+x/p，得x=q/p-1

　　∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）

　　∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。

　　∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1

　　∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1

　　迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q

　　=p2（（pan-3+q）+pq+q……

　　例7、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an

　　解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N+）

　　两式相减得an=2an-1+1

　　两边加1得an+1=2（an-1+1） （n≥2，n∈N+）

　　构造成以2为公比的等比数列{an+1}

　　②an=Pan-1+f（n）

　　例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）

　　证明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5

　　分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。

　　方法一：构造公比为-2的等比数列{an+λ·3n}

　　用比较系数法可求得λ=-1/5

　　方法二：构造等差型数列{an/（-2）n}。由已知两边同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用叠加法处理。

　　方法三：迭代法。

　　an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1

　　=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5

　　③an+1=λan+p·qn（pq≠0）

　　（ⅰ）当λ=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。

　　例9、在数列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。

　　分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1

　　∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。

　　（ⅱ）当λ≠q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

　　例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an

　　分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，

　　得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2

　　令an/2n=bn

　　则bn=3/2bn-1+1/2

　　④an=p（an——1）q（p、q为常数）

　　例11、已知an=1/a an——12，首项a1，求an。

　　方法一：将已知两边取对数

　　得lgan=2lgan——1-lga

　　令bn=lgan

　　得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

　　方法二：迭代法

　　an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2

　　=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23

　　=……=a·（a1/a）2n——1

　　⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r为常数，pr≠0，q≠r）

　　将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再构造成等比数列求an。

　　例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an

　　解：∵an+1=an/an+2

　　∴1/an+1=2·1/an+1

　　两边加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）

　　∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列

　　∴ 1/an+1=2×2n-1=2n

　　∴an=1/2n-1

　　以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。