数学二次函数知识点总结【实用4篇】

数学二次函数知识点总结 篇一

二次函数是数学中的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。本篇文章将对二次函数的相关知识点进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、二次函数的定义和表示

二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。其中，a决定了二次函数的开口方向（正值为开口向上，负值为开口向下），b决定了二次函数的对称轴位置，c则是二次函数的常数项。

二、二次函数的图像特征

1. 开口方向：当a > 0时，二次函数的图像向上开口；当a < 0时，二次函数的图像向下开口。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，其方程为x = -b/2a。

3. 顶点坐标：对称轴上的点称为二次函数的顶点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

4. 判别式：二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的图像与x轴的交点个数和位置。

三、二次函数的性质和变化规律

1. 增减性：当a > 0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a < 0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。

2. 零点：二次函数与x轴的交点称为二次函数的零点，可以通过解一元二次方程来求得。

3. 极值：当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

4. 范围：当a > 0时，二次函数的值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，二次函数的值域为(-∞, f(-b/2a)]。

四、二次函数与二次方程的关系

1. 二次函数的图像与二次方程的解有关，二次函数的零点对应于二次方程的解。

2. 通过二次函数的顶点坐标和判别式可以推知二次方程的解的情况。

五、二次函数的应用

1. 物理学中的自由落体问题可以用二次函数描述。

2. 经济学中的成本、收益和利润问题也可以用二次函数建模。

3. 工程学中的抛物线问题，如抛射物的轨迹和反射问题等，也可以用二次函数求解。

综上所述，二次函数是数学中重要的概念之一，掌握二次函数的定义、图像特征、性质和变化规律，以及与二次方程的关系，有助于解决实际问题和理解数学中的其他概念。希望本篇文章能为读者提供一些有关二次函数的基础知识和应用方面的启示。

数学二次函数知识点总结 篇二

二次函数是数学中的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。本篇文章将继续对二次函数的相关知识点进行总结和归纳，以帮助读者更深入地理解和掌握这一概念。

一、二次函数的基本形式

二次函数的基本形式是f(x) = ax^2，其中a为常数。这种形式的二次函数没有线性项和常数项，其图像关于y轴对称，开口方向由a的正负决定。

二、二次函数的平移和伸缩

1. 平移：二次函数可以通过平移来改变其图像的位置。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，将其平移h个单位水平和k个单位垂直，得到g(x) = a(x - h)^2 + k。其中，h决定了二次函数图像的水平平移方向和距离，k决定了二次函数图像的垂直平移方向和距离。

2. 伸缩：二次函数可以通过伸缩来改变其图像的形状和尺寸。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，将其关于x轴伸缩k倍，得到g(x) = a(kx)^2 + b(kx) + c。其中，k决定了二次函数图像的伸缩比例。当k > 1时，图像被拉伸；当0 < k < 1时，图像被压缩。

三、二次函数的最值和零点

1. 最值：对于开口向上的二次函数，最小值为f(-b/2a)；对于开口向下的二次函数，最大值为f(-b/2a)。

2. 零点：二次函数与x轴的交点称为二次函数的零点，可以通过解一元二次方程来求得。

四、二次函数的图像与判别式

1. 判别式：二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的图像与x轴的交点个数和位置。

2. 当Δ > 0时，二次函数与x轴有两个不同的交点，即有两个不同的实根。

3. 当Δ = 0时，二次函数与x轴有一个重复的交点，即有一个重复的实根。

4. 当Δ < 0时，二次函数与x轴没有交点，即没有实根，但有两个共轭复根。

综上所述，二次函数是数学中重要的概念之一，掌握二次函数的基本形式、平移和伸缩、最值和零点，以及与判别式的关系，有助于深入理解二次函数的性质和变化规律。希望本篇文章能为读者提供一些有关二次函数的进阶知识和应用方面的启示。

数学二次函数知识点总结 篇三

　　1二次函数及其图像

　　二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

　　一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　一般式

　　y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

　　顶点式

　　y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;

　　交点式

　　y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线];

　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

　　牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

　　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)

　　求根公式

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　x是自变量，y是x的二次函数

　　x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

　　(即一元二次方程求根公式)

　　求根的方法还有因式分解法和配方法

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像

　　如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

　　注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。

　　2画出对称轴，并注明X=什么

　　3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质

　　轴对称

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　顶点

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2;-4ac=0时，P在x轴上。

　　开口

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　决定对称轴位置的因素

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b2a="">0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　决定抛物线与y轴交点的因素

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　抛物线与x轴交点个数

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

　　当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数，在

　　{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2c(a≠0)

　　特殊值的形式

　　7.特殊值的形式

　　①当x=1时y=abc

　　②当x=-1时y=a-bc

　　③当x=2时y=4a2bc

　　④当x=-2时y=4a-2bc

　　二次函数的性质

　　8.定义域：R

　　值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，

　　正无穷);②[t，正无穷)

　　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。

　　周期性：无

　　解析式：

　　①y=ax^2bxc[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;

　　⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ>0，图象与x轴交于两点：

　　([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0);

　　Δ=0，图象与x轴交于一点：

　　(-b/2a，0);

　　Δ<0，图象与x轴无交点;

　　②y=a(x-h)^2k[顶点式]

　　此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)

　　对称轴X=(X1X2)/2当a>0且X≧(X1X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦(X1X2)/2时Y随X

　　的增大而减小

　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

　　用)。

　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。

　　26.2用函数观点看一元二次方程

　　1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。

　　2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

　　26.3实际问题与二次函数

　　在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

数学二次函数知识点总结 篇四

　　数学要点：二次函数图象和性质是二次函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线。接下来为大家带来的是初中数学知识点总结之二次函数。

　　二次函数

　　提醒大家：上面的内容是二次函数知识点，请大家做好笔记了。

　　初中数学知识点总结：平面直角坐标系

　　下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

　　平面直角坐标系

　　平面直角坐标系：

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

　　水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

　　平面直角坐标系的要素：

　　①在同一平面

　　②两条数轴

　　③互相垂直

　　④原点重合

　　三个规定：

　　①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

　　②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

　　③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

　　相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

　　初中数学知识点：平面直角坐标系的构成

　　对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

　　平面直角坐标系的构成

　　在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的.公共原点O称为直角坐标系的原点。

　　通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

　　初中数学知识点：点的坐标的性质

　　下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。

　　点的坐标的性质

　　建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。

　　对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。

　　一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

　　希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。

　　初中数学知识点：因式分解的一般步骤

　　关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。

　　因式分解的一般步骤

　　如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

　　通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

　　注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

　　相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。

　　初中数学知识点：因式分解

　　下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。

　　因式分解

　　因式分解定义

：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

　　因式分解要素

：

　　①结果必须是整式

　　②结果必须是积的形式

　　③结果是等式

　　④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)

　　公因式：

一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

　　公因式确定方法

：

　　①系数是整数时取各项最大公约数。

　　②相同字母取最低次幂

　　③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

　　提取公因式步骤：

　　①确定公因式。

　　②确定商式

　　③公因式与商式写成积的形式。

　　分解因式注意；

　　①不准丢字母

　　②不准丢常数项注意查项数

　　③双重括号化成单括号

　　④结果按数单字母单项式多项式顺序排列

　　⑤相同因式写成幂的形式

　　⑥首项负号放括号外

　　⑦括号内同类项合并。

　　通过上面对因式分解内容知识的讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望上面的内容给同学们的学习很好的帮助。