数列通项公式方法总结(精选3篇)
数列通项公式方法总结 篇一
数列通项公式是数学中非常重要的概念，它能够帮助我们找到数列中任意一项的数值。在这篇文章中，我将总结并介绍几种常见的数列通项公式的方法。
1. 等差数列通项公式
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。例如：1, 3, 5, 7, ...，其中每一项与前一项的差值都为2。对于等差数列，我们可以使用以下通项公式来求解任意一项的值：
an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n项的数值，a1表示第一项的数值，d表示公差，n表示项数。
2. 等比数列通项公式
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。例如：1, 2, 4, 8, ...，其中每一项与前一项的比值都为2。对于等比数列，我们可以使用以下通项公式来求解任意一项的值：
an = a1 * r^(n-1)
其中，an表示第n项的数值，a1表示第一项的数值，r表示公比，n表示项数。
3. 斐波那契数列通项公式
斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。例如：1, 1, 2, 3, 5, ...，其中每一项都等于前两项的和。对于斐波那契数列，我们可以使用以下通项公式来求解任意一项的值：
an = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)
其中，an表示第n项的数值，sqrt表示平方根，^表示乘方。
4. 等差数列和与等比数列和的通项公式
除了求解数列中任意一项的值之外，我们还可以使用数列的通项公式来求解数列的和。对于等差数列，我们可以使用以下求和公式来求解数列的和：
Sn = (n/2) * (a1 + an)
其中，Sn表示数列的和，n表示项数，a1表示第一项的数值，an表示最后一项的数值。对于等比数列，我们可以使用以下求和公式来求解数列的和：
Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)
其中，Sn表示数列的和，a1表示第一项的数值，r表示公比，n表示项数。
在实际应用中，数列通项公式方法可以帮助我们快速计算数列中任意一项的数值，同时也可以用来求解数列的和。通过掌握这些方法，我们能够更好地理解和应用数列的性质和特点，提高数学问题的解决效率。
数列通项公式方法总结 篇二
在数学中，数列通项公式是非常重要的概念，它能够帮助我们找到数列中任意一项的数值。在这篇文章中，我将继续总结并介绍几种其他常见的数列通项公式的方法。
1. 平方数列通项公式
平方数列是指数列中每一项都是某个正整数的平方的数列。例如：1, 4, 9, 16, ...，其中每一项都是某个正整数的平方。对于平方数列，我们可以使用以下通项公式来求解任意一项的值：
an = n^2
其中，an表示第n项的数值，n表示项数。
2. 立方数列通项公式
立方数列是指数列中每一项都是某个正整数的立方的数列。例如：1, 8, 27, 64, ...，其中每一项都是某个正整数的立方。对于立方数列，我们可以使用以下通项公式来求解任意一项的值：
an = n^3
其中，an表示第n项的数值，n表示项数。
3. 等差数列和与等比数列和的通项公式
除了求解数列中任意一项的值之外，我们还可以使用数列的通项公式来求解数列的和。对于等差数列，我们可以使用以下求和公式来求解数列的和：
Sn = (n/2) * (a1 + an)
其中，Sn表示数列的和，n表示项数，a1表示第一项的数值，an表示最后一项的数值。对于等比数列，我们可以使用以下求和公式来求解数列的和：
Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)
其中，Sn表示数列的和，a1表示第一项的数值，r表示公比，n表示项数。
掌握这些数列通项公式方法可以帮助我们更好地理解和应用数列的性质和特点，提高数学问题的解决效率。无论是在学习还是实际应用中，数列通项公式都是非常有用的工具，能够帮助我们更好地理解和掌握数学知识。通过不断练习和应用这些方法，我们能够在数学领域取得更好的成绩和进步。
数列通项公式方法总结 篇三
数列通项公式方法总结
数列既是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合题、主观题的形式出现，难度较大，以下是小编整理数列通项公式方法总结的资料，欢迎阅读参考。
不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。
一、已知数列的前几项
已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。
例1、求数列的通项公式
（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……
（2）9，99，999，……
分析：（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的.平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。
（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。
此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。
二、已知数列的前n项和Sn
已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）
例2、已知数列{an }的前n项和Sn=2n+3，求an
分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an
Sn——1＝a1+a2 +……+an——1
上两式相减得 Sn -Sn——1=an
解：当n=1时，a1=S1=5
当n≥2时，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1
∵n=1不适合上式
∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）
三、已知an与Sn关系
已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。
（1）an=an——1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。
例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1+8，求an。
分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。
（2）an=kan——1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。
例4、数列{an}的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）
求数列{an}的通项公式。
分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。
解：由an+1=2Sn+1
得an=2Sn-1+1（n≥2）
两式相减，得an+1-an=2an
∴an+1=3an （n≥2）
∵a2=2Sn+1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列
∴an=3n-1
（3）an+1=an+f（n），用叠加法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2=a1+f（1）
a3=a2+f（2）
a4=a3+f（3）
……
+an=an——1+f（n-1）
an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）
例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n
则{an}的通项公式=（ ）
解：∵an+1=an+2n
∴a2 =a1+2×1
a3=a2+2×2
a4=a3+2×3
……
+an=an——1+2（n-1）
an=a1+2（1+2+3+…+n-1）
=2+2×（1+n-1）（n-1）
=n2-n+2
（4）an+1=f（n）an，用累积法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3
……
×）an=f（n-1）an-1
an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）
例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（ ）
解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1
a3=22a2 a4=23a3
……
×） an=2n——1·an——1
an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2
（5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）
an+1=an+p·qn（pq≠0），
an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）
（p、q、r为常数）
这些类型均可用构造法或迭代法。
①an=pan——1+q （p、q为常数）
构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。
将关系式两边都加上x
得an+x=Pan——1+q+x
=P（an——1 + q+x/p）
令x=q+x/p，得x=q/p-1
∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）
∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。
∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1
∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1
迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q
=p2（（pan-3+q）+pq+q……
例7、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an
解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N+）
两式相减得an=2an-1+1
两边加1得an+1=2（an-1+1） （n≥2，n∈N+）
构造成以2为公比的等比数列{an+1}
②an=Pan-1+f（n）
例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）
证明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5
分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。
方法一：构造公比为-2的等比数列{an+λ·3n}
用比较系数法可求得λ=-1/5
方法二：构造等差型数列{an/（-2）n}。由已知两边同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用叠加法处理。
方法三：迭代法。
an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1
=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5
③an+1=λan+p·qn（pq≠0）
（ⅰ）当λ=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。
例9、在数列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。
分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1
∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。
（ⅱ）当λ≠q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。
例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an
分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，
得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2
令an/2n=bn
则bn=3/2bn-1+1/2
④an=p（an——1）q（p、q为常数）
例11、已知an=1/a an——12，首项a1，求an。
方法一：将已知两边取对数
得lgan=2lgan——1-lga
令bn=lgan
得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。
方法二：迭代法
an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2
=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23
=……=a·（a1/a）2n——1
⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r为常数，pr≠0，q≠r）
将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再构造成等比数列求an。
例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an
解：∵an+1=an/an+2
∴1/an+1=2·1/an+1
两边加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）
∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列
∴ 1/an+1=2×2n-1=2n
∴an=1/2n-1
以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。
