二次函数的知识点总结(经典3篇)
二次函数的知识点总结 篇一
二次函数是高中数学中的重要内容之一，它是一种特殊的二次方程，具有许多独特的性质和应用。在这篇文章中，我将总结二次函数的一些重要知识点。
首先，我们来回顾一下二次函数的定义。二次函数是一个以x的二次方为最高次幂的函数，通常表示为y = ax^2 + bx + c。其中，a、b、c是实数，且a不等于0。这里的a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，而b则决定了二次函数的位置，c决定了二次函数的纵向平移。
其次，我们来看二次函数的图像特点。当a大于0时，二次函数的图像开口向上，形如一个U型；当a小于0时，二次函数的图像开口向下，形如一个倒U型。关于二次函数的图像，我们还可以从顶点、对称轴、零点等方面进行分析。顶点是二次函数图像的最低点或最高点，其横坐标对应的是二次函数的对称轴。零点是二次函数的解，即使得函数值为0的x值。
接下来，我们讨论二次函数的性质。首先是二次函数的对称性。二次函数关于其对称轴是对称的，即对称轴上的任意一点(x, y)对应的另一个点也是(x, y)。其次是二次函数的增减性。当a大于0时，二次函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减；当a小于0时，二次函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增。最后是二次函数的最值。当a大于0时，二次函数的最小值为对称轴的纵坐标；当a小于0时，二次函数的最大值为对称轴的纵坐标。
最后，我们来探讨二次函数的应用。二次函数在现实生活中有许多应用，比如抛物线的运动轨迹、物体的抛射问题等。通过二次函数，我们可以计算出物体的最高点、最远距离等重要参数。此外，二次函数还可以用来解决最优化问题，比如求解最大或最小值的问题。
综上所述，二次函数是高中数学中的重要内容。通过对二次函数的定义、图像特点、性质和应用的理解，我们可以更好地理解和应用二次函数。希望这篇文章能够帮助大家系统地复习和总结二次函数的知识点。
二次函数的知识点总结 篇二
二次函数是高中数学中的重要内容之一，它是一种特殊的二次方程，具有许多独特的性质和应用。在这篇文章中，我将继续总结二次函数的一些重要知识点。
首先，我们来回顾一下二次函数的解的性质。对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求解它的根来得到二次函数的零点。根的个数与判别式有关，判别式D = b^2 - 4ac。当D大于0时，方程有两个不相等的实根，对应着二次函数与x轴交点的横坐标；当D等于0时，方程有两个相等的实根，对应着二次函数与x轴交点的横坐标相同；当D小于0时，方程没有实根，对应着二次函数与x轴没有交点。
其次，我们来看二次函数的因式分解。对于一元二次函数，我们可以将其因式分解为两个一次因子相乘的形式。这个过程可以通过求解一元二次方程的根来完成。例如，对于二次函数y = x^2 - 5x + 6，我们可以将其因式分解为y = (x - 2)(x - 3)。
接下来，我们讨论二次函数与一次函数的关系。当二次函数的系数a不等于0时，我们可以将其化简为一次函数的形式。例如，对于二次函数y = 2x^2 + 3x + 1，我们可以将其化简为y = 2(x + 1/4)^2 - 1/8。这个过程可以通过配方法完成，从而得到二次函数与一次函数之间的关系。
最后，我们来探讨二次函数的平移与伸缩。当二次函数的系数a不等于1时，我们可以通过平移与伸缩来改变二次函数的形状和位置。平移是指将二次函数的图像沿x轴或y轴移动，而伸缩是指改变二次函数图像的大小。这些变化可以通过改变系数a、b、c来实现。
综上所述，二次函数是高中数学中的重要内容。通过对二次函数的解的性质、因式分解、与一次函数的关系以及平移与伸缩的理解，我们可以更好地应用二次函数解决各种问题。希望这篇文章能够帮助大家进一步理解和掌握二次函数的知识点。
二次函数的知识点总结 篇三
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的'增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x|
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
