极限的计算方法总结【优质3篇】

极限的计算方法总结 篇一

极限是微积分中的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。本文将总结几种常见的极限计算方法，帮助读者更好地理解和应用极限概念。

1. 代入法

代入法是最基本的极限计算方法之一。它的思想是将待求极限中的变量替换为某个特定值，然后计算函数在该值处的取值。代入法常用于计算简单的极限，例如计算常数函数或多项式函数在某个点的极限。

例如，要计算函数f(x) = 2x + 1在x = 3处的极限，我们可以将x替换为3，得到f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。因此，极限lim(x→3) f(x) = 7。

2. 夹逼定理

夹逼定理是一种常用于计算极限的方法。它的思想是通过找到两个函数，一个比待求函数的极限值更小，另一个比待求函数的极限值更大，从而确定待求函数的极限。

例如，要计算函数g(x) = x^2 + 1在x趋近于0时的极限，我们可以使用夹逼定理。我们可以找到两个函数f(x) = 1和h(x) = x^2 + 2，使得f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)。当x趋近于0时，f(x)和h(x)的极限都等于1。根据夹逼定理，我们可以得出lim(x→0) g(x) = 1。

3. 洛必达法则

洛必达法则是一种常用于计算极限的方法，特别适用于计算不定型的极限。它的思想是将待求函数的极限转化为两个函数的极限之比，然后利用导数的性质进行计算。

洛必达法则的一般形式为lim(x→a) f(x)/g(x)，其中f(x)和g(x)都在x趋近于a时有定义，并满足以下条件：lim(x→a) f(x) = 0，lim(x→a) g(x) = 0，且g'(x) ≠ 0。

例如，要计算函数h(x) = (e^x - 1)/x在x趋近于0时的极限，我们可以使用洛必达法则。我们计算h'(x)的导数，得到h'(x) = (e^x - 1)/1 = e^x。当x趋近于0时，h'(x)的极限等于e^0 = 1。根据洛必达法则，我们可以得出lim(x→0) h(x) = 1。

综上所述，代入法、夹逼定理和洛必达法则都是常见的极限计算方法。根据具体情况选择合适的方法，可以帮助我们更准确地计算极限值。在实际应用中，还可以结合其他方法和技巧，进一步提高极限计算的准确性和效率。

极限的计算方法总结 篇二

极限是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。本文将继续总结几种常见的极限计算方法，帮助读者更好地掌握和应用极限概念。

4. 泰勒展开

泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，它在计算极限时非常有用。泰勒展开的基本思想是将函数在某个点附近进行多项式逼近，从而近似计算函数的极限。

例如，要计算函数f(x) = sin(x)在x趋近于0时的极限，我们可以使用泰勒展开。根据泰勒展开公式，我们可以将sin(x)展开为其在x = 0处的泰勒级数。展开到一阶项，我们得到f(x) ≈ x。当x趋近于0时，x的极限等于0。因此，根据泰勒展开，我们可以得出lim(x→0) f(x) = 0。

5. 分部积分法

分部积分法是一种常用于计算极限的方法，特别适用于计算含有乘积的函数的极限。它的思想是将含有乘积的函数拆分成两个部分，然后利用分部积分公式进行计算。

分部积分公式为∫(u * v)dx = ∫u * dv - ∫(du * v)dx，其中u和v都是可导函数。

例如，要计算函数g(x) = x * ln(x)在x趋近于0时的极限，我们可以使用分部积分法。我们选择u = ln(x)，dv = xdx，然后计算du和v的值，得到du = (1/x)dx和v = (1/2)x^2。根据分部积分公式，我们可以得到∫(x * ln(x))dx = (1/2)x^2 * ln(x) - ∫((1/2)x^2 * (1/x))dx = (1/2)x^2 * ln(x) - (1/4)x^2。当x趋近于0时，(1/2)x^2 * ln(x)和(1/4)x^2的极限都等于0。因此，根据分部积分法，我们可以得出lim(x→0) g(x) = 0。

综上所述，泰勒展开和分部积分法是常见的极限计算方法。它们在不同的场景中有不同的应用，可以帮助我们更准确地计算极限值。深入理解和掌握这些方法，对于解决各种数学和物理问题都具有重要的意义。

极限的计算方法总结 篇三

　　1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

　　2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

　　3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

　　4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!

　　5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的.范围结果就出来了!

　　6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

　　7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。

　　8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。

　　9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。

　　10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)

　　11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。

　　12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。

　　13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

　　14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

　　15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!

　　16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义!

　　函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：

　　1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样(奇函数相加为0);

　　2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致;

　　3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;

　　4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质!(可以导的函数的单调性和他的导数正负相关):o再就是总结一下间断点的问题(应为一般函数都是连续的

所以间断点是对于间断函数而言的)间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的(左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点;第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点(这也说明极限即使不存在也有可能是有界的)。

　　数学成绩是长期积累的结果，因此准备时间一定要充分。首先对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，同时逐步进行一些训练，积累解题思路，这有利于知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。

　　拓展：定积分计算方法总结

　　一、 定积分的计算方法

　　1. 利用函数奇偶性

　　2. 利用函数周期性

　　3. 参考不定积分计算方法

　　二、 定积分与极限

　　1. 积和式极限

　　2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限

　　3. 洛必达法则

　　4. 等价无穷小

　　三、 定积分的估值及其不等式的应用

　　1. 不计算积分，比较积分值的大小

　　1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

　　f(x)>=g(x),则 >= ()dx

　　2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)

　　b) 当0<x<兀/2时，2/兀<<1

　　2. 估计具体函数定积分的值

　　积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则

　　M(b-a)<= <=M(b-a)

　　3. 具体函数的定积分不等式证法

　　1) 积分估值定理

　　2) 放缩法

　　3) 柯西积分不等式

　　≤ %

　　4. 抽象函数的定积分不等式的证法

　　1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

　　2) 积分中值定理

　　3) 常数变易法

　　4) 利用泰勒公式展开法

　　四、 不定积分计算方法

　　1. 凑微分法

　　2. 裂项法

　　3. 变量代换法

　　1) 三角代换

　　2) 根幂代换

　　3) 倒代换

　　4. 配方后积分

　　5. 有理化

　　6. 和差化积法

　　7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）

　　8. 降幂法