二次函数的知识点总结【实用3篇】

二次函数的知识点总结 篇一

二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。本文将对二次函数的基本概念、性质和应用进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来了解二次函数的基本概念。二次函数是指形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数且a不等于0。这里的x是自变量，f(x)是因变量。二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

接下来，我们来探讨二次函数的性质。首先是顶点。二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其横坐标为-x轴对称的点，纵坐标为f(x)的最大值或最小值。顶点的横坐标可以通过公式x=-b/2a求得。其次是轴对称性。二次函数的图像关于顶点的纵轴对称，即f(x)与f(-x)关于y轴对称。再次是零点。二次函数的零点是使f(x)=0的x值，也就是使抛物线与x轴相交的点。零点可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到。

此外，二次函数还有一些重要的性质。首先是判别式。对于二次方程ax^2+bx+c=0，其判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况。当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数解；当Δ小于0时，方程没有实数解。其次是极值点。二次函数的极值点是函数的最大值或最小值点，其纵坐标为f(x)的最大值或最小值。极值点的横坐标可以通过求解一次方程2ax+b=0来得到。

最后，我们来看一下二次函数的应用。二次函数的应用非常广泛，尤其在物理学和经济学中。例如，物体的自由落体运动可以用二次函数来描述，其中抛物线的开口方向表示物体的运动方向；经济学中的成本函数和收益函数也可以用二次函数来表示，帮助分析企业的经营状况。

综上所述，二次函数是高中数学中的重要内容，在代数学和几何学中都有广泛的应用。通过对二次函数的基本概念、性质和应用进行总结，读者可以更好地理解和掌握这一知识点，为进一步学习和应用打下坚实的基础。

二次函数的知识点总结 篇二

二次函数是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学和物理学中都有广泛的应用。本文将对二次函数的定义、图像、性质和应用进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来了解二次函数的定义。二次函数是指形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数且a不等于0。这里的x是自变量，f(x)是因变量。二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

接下来，我们来探讨二次函数的图像。二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置由系数a、b和c决定。当a大于0时，抛物线的顶点在y轴上方；当a小于0时，抛物线的顶点在y轴下方。系数b控制了抛物线的左右平移，系数c控制了抛物线的上下平移。通过调整这些系数，我们可以得到不同形状和位置的抛物线。

此外，二次函数还有一些重要的性质。首先是顶点。二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其横坐标为-x轴对称的点，纵坐标为f(x)的最大值或最小值。顶点的横坐标可以通过公式x=-b/2a求得。其次是轴对称性。二次函数的图像关于顶点的纵轴对称，即f(x)与f(-x)关于y轴对称。再次是零点。二次函数的零点是使f(x)=0的x值，也就是使抛物线与x轴相交的点。零点可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到。

最后，我们来看一下二次函数的应用。二次函数在代数学、几何学和物理学中都有广泛的应用。在代数学中，二次函数可以用来解决一元二次方程的问题，求解方程的解和判断方程的解的情况。在几何学中，二次函数可以用来描述抛物线的形状和位置，帮助分析几何问题。在物理学中，二次函数可以用来描述自由落体运动、抛体运动和弹性碰撞等物理现象。

综上所述，二次函数是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学和物理学中都有广泛的应用。通过对二次函数的定义、图像、性质和应用进行总结，读者可以更好地理解和掌握这一知识点，为进一步学习和应用打下坚实的基础。

二次函数的知识点总结 篇三

二次函数的知识点总结

　　总结就是对一个时期的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的回顾和分析的书面材料，它可以给我们下一阶段的学习和工作生活做指导，因此，让我们写一份总结吧。那么如何把总结写出新花样呢？下面是小编收集整理的二次函数的知识点总结，仅供参考，希望能够帮助到大家。

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]

　　交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的`增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x|

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a≠0)．

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)．

　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．