一元二次不等式的解法导学案
一元二次不等式的解法导学案
一元二次不等式解法中蕴含的数学思想方法——《一元二次不等式的解法》导学案
邵丽云
内容分析：
一元二次不等式的解法是在初中学习了一元一次不等式、一元一次不等式组后而学习的内容。一元二次不等式的解法是研究函数的重要工具，是高中数学的重要内容，也是高考常考的内容。一元二次不等式的解沟通了三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的联系，蕴含诸多重要的数学思想方法，如数形结合，函数方程，分类讨论，转化化归等重要的'思想方法。本节主要是通过不等式的解法教学，让学生了解、掌握一些重要的思想和方法
学习目标：
1.经历探索一元二次不等式求解的推理过程，会解一元二次不等式。
2.找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的内在联系。
3.体悟数形结合、函数方程、分类讨论、转化和化归等数学思想与方法。
学习重点：
一元二次不等式的解法。
学习难点：
一元二次不等式的解法的分类讨论。
学习关键：
找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系。
学习过程：
环节1：设疑导思
设疑：当x取什么值的时候，2x-7的值)等于0；大于0；小于0。
思考：可以用几种方法求解上题？
提出问题：类比上述图象解法，能否解决不等式x2-x-6＞0，x2-x-6＜0？
如何解决？
(学生独立完成，一名学生板)
观察黑板上图象可得：当x＜-2或x＞3时，x2-x-6＞0。
当-2＜x＜3时，x2-x-6＜0。
【设计意图：揭示一元二次函数和一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系，渗透数学结合,函数方程思想方法。】
环节2：探究方法
问题1：怎样确定一元二次不等式ax2+bx+c＞0与ax2+bx+c＜0的解集？
组织讨论：
思考方向：(1)确定一元二次不等式的解的关键是什么？
(2)有根的前提下，两根之内还是两根之外由什么决定？
解题策略：使a值为正，求得两根，“＞”则两根之外；“＜”则两根之内。
【设计意图：归纳方法，渗透由特殊到一般的思想方法。】
从上例出发，结合学生的回答结果，归纳出一元二次不等式解法，
老师引导，学生总结：
①抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置，由二次方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac的情况确定，分△＞0、△=0、△＜0三种情况。
②a＜0可转化为a＞0。
黑板显示出：三个二次之间的关系 由学生填空.并归纳解一元二次不等式的步骤(学生总结，教师归纳补充)：
①化二次项系数a为正；
②求△；
③解对应的一元二次方程；
④最后求解出一元二次不等式。
环节3：运用巩固
[例1] 解下列不等式：
(1) x2＋8x＋15＞0 (2)－x2－3x＋4＞0 (3) 2x2－1＜x2＋4x－2
(4) －x2＋2x＞1 (5) x2＋2x＋3＞0 (6) x2－2x＋5＜0
解题反思：你觉得在解一元二次不等式过程中有哪些注意点？
【设计意图：熟练掌握方法，注意数形结合，函数方程等思想方法的应用。】
环节4：深化拓展
问题2：能否写出一个解集为(－2，1)的一元二次不等式？这样的不等式有几个？能给出一个一般的形式么？（学生交流讨论）
[例2]若不等式2x2－ax＋b＞0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，求a、b值。
【设计意图：体悟转化化归思想，函数方程，数形结合的数学思想方法。】
问题3：会解含参数的不等式吗？
[例3] 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。
反思：(1) 引起讨论的原因是什么？
(2) 如何进行讨论？
[例4] 解关于x的不等式：x2－(m＋2)x＋2m＜0。
反思：(1) 引起讨论的原因是什么？
(2) 如何进行讨论？
[例5] 解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0。
反思：(1) 引起讨论的原因是什么？
(2)如何进行讨论？
第一层次：一次不等式还是二次不等式的不确定性，对m≠0与m＝0进行讨论。
第二层次：x2前系数正负(不等号方向)的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论。
第三层次： 与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论。
[例6] k为何值时，关于x的一元二次不等式x2＋(k－1)x＋4＞0的解集为(－∞，∞)？
变式1：k为何值时，关于x的一元二次不等式(k＋1)x2－2x＋k＋1＞0的解集为(－∞，∞)？
变式2：k为何值时，关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x＋2＞0的解集为
(－∞，∞)？
【设计意图：加深对不等式解的理解，渗透分类讨论、数形结合的思想方法。】
环节5：总结提升
请从知识、思想方法等方面谈谈你的收获？
体悟数学思想 活用数学方法
一、在优化内容时注重数学思想方法的挖掘
（一）明确学习内容标准，挖掘教材蕴含的数学思想方法。
（二）从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。
二、在课堂教学中注重数学思想方法的体悟
（一）探索“方法”，感悟“思想”。
（二）形成“方法”，理解“思想”。
（三）运用 “方法”，内化“思想”。
（四）提炼“方法”，完善“思想”。
三、在学业评价中注重数学思想方法的考评
（一）函数方程思想方法
（二）数形结合思想方
（三）转化化归思想方法
（四）分类讨论思想方法
（五）特殊与一般思想方法等
