抛物线的十个最值问题(实用3篇)

抛物线的十个最值问题 篇一

抛物线是高中数学中常见的曲线形状，具有很多有趣的性质和特点。在这篇文章中，我们将讨论抛物线的十个最值问题，包括最大值、最小值、最值点等。

1. 抛物线的最值点问题：抛物线的顶点是曲线的最值点，也就是说，抛物线的顶点是其自身所有点中的最大值或最小值。通过求导可以得到抛物线的顶点坐标。

2. 抛物线的最值问题：对于给定的抛物线方程，我们可以通过求导来确定抛物线的最大值或最小值。求导后，令导数等于0，解方程可以得到极值点的横坐标，再代入原方程可以得到相应的纵坐标。

3. 抛物线的最大值问题：对于开口向下的抛物线，其最大值就是其顶点的纵坐标。同样地，对于开口向上的抛物线，其最大值也是顶点的纵坐标。

4. 抛物线的最小值问题：和最大值问题类似，对于开口向上的抛物线，其最小值就是其顶点的纵坐标。而对于开口向下的抛物线，其最小值也是顶点的纵坐标。

5. 抛物线的最值范围问题：对于给定的抛物线方程，我们可以通过求导来确定抛物线的最值范围。求导后，根据导数的正负可以确定抛物线的开口方向和最值的位置。

6. 抛物线的最值点对称问题：对于抛物线，其最值点关于顶点对称。也就是说，如果一个点在抛物线上，那么与该点关于顶点对称的点也在抛物线上，并且具有相同的纵坐标。

7. 抛物线的最值问题与二次函数的关系：抛物线可以用二次函数来表示，而二次函数的最值问题与抛物线的最值问题是等价的。因此，我们可以通过二次函数的最值性质来解决抛物线的最值问题。

8. 抛物线的最值问题与实际应用：抛物线的最值问题在实际生活中有着广泛的应用。比如，通过抛物线的最值可以确定一个飞行物体的最高点、最远点等。这对于航天、物理等领域有着重要的意义。

9. 抛物线的最值问题与优化问题：在数学建模中，抛物线的最值问题经常被用来解决优化问题。通过确定抛物线的最值，可以找到使得某一目标函数达到最大或最小的变量值。

10. 抛物线的最值问题与图像的解读：通过抛物线的最值问题，我们可以进一步理解抛物线的图像特点。最值点的位置和大小可以告诉我们抛物线的开口方向、对称轴的位置等。

总之，抛物线的十个最值问题涉及了抛物线的各个方面，从最值点的坐标求解到最值范围的确定，从最值问题与二次函数的关系到最值问题的实际应用，都为我们深入理解和应用抛物线提供了有益的思路。

抛物线的十个最值问题 篇三

关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下:

定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.

证明:不妨设抛物线的'极坐标方程为 ρ=,则显然有ρ≥,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.

定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.

证明:设抛物线极坐标方程为 ρ=,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有

│AB│=ρ1+ρ2 =+=≥ 2p =通径长,

其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕.

定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0

│MA│m in =

证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2= [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.

定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点,

F是焦点,M是抛物线上的动点,则

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