余弦定理的证明方法

花眠分享2011-04-02 02:28:17 次阅读

余弦定理的证明方法

　　在日常的学习、工作、生活中，大家总少不了要接触或使用证明吧，证明是由机关、学校、团体等发的证明自己身份、经历或某事真实性的一种凭证。拟起证明来就毫无头绪？以下是小编收集整理的余弦定理的证明方法，仅供参考，大家一起来看看吧。

　　余弦定理的证明方法

　　在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

　　则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

　　b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

　　过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

　　由勾股定理得：

　　c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

　　所以c

^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

　　=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2+b^2-2a*CD

　　因为cosC=CD/b

　　所以CD=b*cosC

　　所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　在任意△ABC中, 作AD⊥BC.

　　∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a -->

　　BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　勾股定理可知：

　　AC=AD+DC

　　b=(sinB*c)+(a-cosB*c)

　　b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB

　　b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a

　　b=c+a-2ac*cosB

　　所以，cosB=(c+a-b)/2ac

　　如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

　　mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

　　mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

　　ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

　　同理可得：

　　mb=

　　mc=

　　ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)