圆的一般方程【推荐6篇】

圆的一般方程 篇一

圆是平面几何中常见的几何图形，其一般方程可以用来描述圆的性质和特征。在笛卡尔坐标系中，一个圆可以由其圆心坐标和半径来确定，而圆的一般方程则可以表示为(x-a)2 + (y-b)2 = r2。其中，(a, b)为圆心坐标，r为半径。

通过圆的一般方程，我们可以得到许多有用的信息。首先，通过比较方程中的系数，我们可以确定圆心的坐标和半径的长度。例如，对于方程(x-2)2 + (y+3)2 = 25，我们可以得知圆的圆心坐标为(2, -3)，半径为5。其次，我们可以通过圆的一般方程来判断点是否在圆内。如果一个点的坐标(x?, y?)满足方程(x-a)2 + (y-b)2 = r2，则该点在圆上；如果不等式成立且小于r2，则该点在圆内；如果不等式不成立，则该点在圆外。

在实际应用中，圆的一般方程可以帮助我们解决许多几何问题。例如，在计算机图形学中，我们可以利用圆的一般方程来绘制圆形图案；在物理学中，我们可以通过圆的一般方程来描述天体运动的轨迹。总的来说，圆的一般方程是一个非常有用的工具，可以帮助我们更好地理解和应用圆形几何。

圆的一般方程 篇二

圆是几何学中非常重要的一个图形，其一般方程可以帮助我们描述圆的性质和特征。在笛卡尔坐标系中，圆的一般方程通常表示为(x-a)2 + (y-b)2 = r2，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径长度。通过这个方程，我们可以得知圆心的位置和半径的大小，进而推导出许多有用的结论。

圆的一般方程在几何学中有着广泛的应用。例如，我们可以利用这个方程来求解圆与直线的交点问题。如果一条直线的方程为y = kx + m，我们可以将其代入圆的一般方程中，得到一个关于x的二次方程。通过求解这个二次方程，我们可以得到直线与圆的交点坐标。这种方法在解决几何问题时非常高效，能够帮助我们快速求解复杂的几何关系。

除了求解交点问题，圆的一般方程还可以帮助我们判断两个圆是否相交或相切。如果两个圆的一般方程分别为(x-a?)2 + (y-b?)2 = r?2和(x-a?)2 + (y-b?)2 = r?2，我们可以比较两个圆心之间的距离和半径之和与差来判断它们的位置关系。如果两个圆相交于两个点，那么它们的距离小于半径之和；如果两个圆相切于一个点，那么它们的距离等于半径之和；如果两个圆相离，那么它们的距离大于半径之和。

综上所述，圆的一般方程是几何学中一个非常重要的工具，它可以帮助我们解决各种与圆相关的问题。通过熟练掌握这个方程的应用，我们可以更好地理解和运用圆形几何，为解决实际问题提供有效的方法和工具。

圆的一般方程 篇三

一、教材分析

教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方程，这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。

教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：例4则是利用待定系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。

二、学情分析

学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的标准方程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0解决问题时，常忽略表示圆的条件D2?E2?4F?0，灵活使用圆的方程的两种形式解决问题是学生学习的难点。

三、本节渗透的数学思想及教学方法分析

根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想，分析与讨论结合。

1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。

2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件（坐标）才能确定圆，树立利用方程的思想求解参数变量。

3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优缺点。

4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。

四.教学目标

知识与技能：

圆的一般方程 篇四

圆的一般方程 篇五

3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程

过程与方法：

1).通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。

2).通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。

情感态度与价值观：

培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识，在体现数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。

五.教学重、难点

教学重点：

圆的一般方程 篇六

2.待定系数法求圆的方程。

教学难点：

1. 方程x2?y2?Dx?Ey?F?0及对D2?E2?4F分类讨论。

2.根据具体条件，选择圆的方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。

难点突破：

通过对D2?E2?4F的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学显得轻松易学。

六．学法分析

在教学活动中，教师提出疑问，引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积极的学习中解决问题，获得知识。贯穿“疑问”—“思索”—“发现”—“解惑”四个学习环节。

七．教学过程设计

（一）创设情境，引发思考，引入新知

问题1：A.B两镇相距10km，为了响应党的号召,丰富人民的文化生活,现在两镇之间修建一个文化广场,为方便大部分群众,现要求广场到两镇之间距离的平方和为60,那么广场应修建在何处?

分析：仅仅依据问题中的几个数据无法表示距离，若将这个问题放在直角坐标系中来考虑，就能很快表示出距离，以AB两镇所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立直角坐标系，则A(?5,0),B(5,0)，设P(x,y)为广场所在的位置，则有

化简得x2?y2?5。你能说明这是一个什么方程吗？(x?5)2?y2?(x?5)2?y2?60，

广场应建在什么位置？

设计意图：以生活中的实例提出问题，激发学生的学习兴趣，并借此复习学生已经掌握的圆的标准方程，并为圆方程改写成二元二次方程的形式引出圆的一般方程做铺垫。

问题2：圆的标准方程(x-a)2?(y-b)2?r2的展开式是什么？：

x2?y2-2ax-2by?a2?b2-r2?0

由于a,b,r均为常数，故设 D=-2a， E =-2b , F = a2+b2-r2 此方程可写成下面的形式：

x2?y2?Dx?Ey?F?0 ① 故任何一个圆的方程都可以用上式表示。

思考：形如①的方程表示的曲线一定是圆吗？

设计意图：在问题1的基础上由圆的标准方程展开问题引发概念，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。

（二）深入思考，得出结论

如果形如①的方程表示的曲线是圆，那么由方程可求出圆心和半径。下面我们配D2E2D2?E2?4F方整理可得：(x?)?(y?)? ② 224

D2E2D2?E2?4F比较圆的标准方程 (x-a)+(y-b)=r与(x?)?(y?)?的形式 224222上式表不表示圆，关键跟D2?E2?4F的正负有关。

1）当D2?E2?4F?0时，表示以(?

径的圆。

2）当D2?E2?4F=0时，方程只有实数解 x??

(?DE,?)。 22DE,?)为圆心，

以R?为半22DE， y??即表示一个点22

3）当D2?E2?4F?0时，方程没有实数解，因而不表示任何图形。

综上所述，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆，只有当D2?E2?4F?0时，它表示的曲线才是圆，此时x2?y2?Dx?Ey?F?0叫圆的一般方程。表示以(?

DE,?

)为圆心，R?为半径的圆。 22设计意图：通过本过程，学生实现了对圆的方程更深的理解，实现了对圆的一般方程的理解。引导学生理解圆的一般方程的意义，真正知道什么情况下表示圆，并理解为什么。

（三）两相对比，加深理解

标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2明确指出了圆心和半径。

一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0突出了形式上的特点

1．x2和y2的系数相同，且不等于0。

2．没有xy这样的二次项。

3. D2?E2?4F?0

设计意图：通过比较，不仅复习了以前的知识，增强了记忆。对今天的新课也有了更深层次的理解。

（四）知识运用，巩固概念

例1．判别下列方程表示什么图形,如果是圆,找出圆心和半径。

（1）x2+y2-2x+4y+1=0

（2）x2+y2+2by=0 （b≠0）

例2．求过点M(?1,1)，且圆心与已知圆x2?y2?4x?6y?3?0相同的圆的方程。 方法一：利用配方法将其变成圆的标准形式，求出圆心后再求半径。

方法二：利用圆的一般方程方程形式求解，由于所求圆与已知圆是同心圆，故可设所求圆的方程为：x2?y2?4x?6y?F?0，然后将M点代入，利用待定系数法求F。

设计意图：本题较简单，学生独立求解，然后教师点评。设计目的是让学生应用新知，巩固知识，强调圆的标准方程与一般方程方程的相互转化及二元二次方程

x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圆的条件。同时也增强学生自信，提高兴趣。

例3．求过三点O (0,0),M1(1,1), M2(4,2), 的圆的方程，并指出圆心和半径。

设计意图：让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导，总结出用待定系数法求圆的一般方程的'步骤。通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。

注：用待定系数法求圆的方程的步骤：

（1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；（圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较，(1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

(2)若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解）

（2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

（3）解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程。

（五）反馈练习，强化概念

教材80页，练习1、（2）（4）2.

（六）课堂小节，形成体系

从知识与方法两个方面进行归纳。（学生先归纳总结，教师补充强调）

1．本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为x2?y2?Dx?Ey?F?0，其特点是：

（1）x2和y2的系数相同，且不等于0。

（2）没有xy这样的二次项

（3）D2?E2?4F?0 表示以(?DE,?

)为圆心，R?为半径的圆。 222．圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较

（1）若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

（2）若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.

3.本节课用的数学思想方法：

（1）通过特殊认识一般的思想方法。