利用定义来计算函数的定积分【优秀3篇】
利用定义来计算函数的定积分 篇一
定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在一个区间上的累积效果。而要计算一个函数的定积分，常用的方法之一就是利用定义来进行计算。下面，我们将以一个具体的例子来说明如何利用定义来计算函数的定积分。
我们考虑一个简单的例子，计算函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。首先，我们可以将区间[1, 3]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。然后，我们选择每个小区间中的一个点xi，记作xi*。根据定积分的定义，函数f(x)在区间[1, 3]上的定积分可以表示为：
∫[1, 3] 2x dx = lim(n→∞) Σ[1, 3] 2xi*Δx
接下来，我们来具体计算这个定积分。首先，我们将区间[1, 3]等分成n个小区间，每个小区间的长度Δx为(3-1)/n = 2/n。然后，我们选择每个小区间中点xi*为1 + i(2/n)，其中i为小区间的序号，i = 0, 1, 2, ..., n-1。根据定义，我们可以得到：
Σ[1, 3] 2xi*Δx = Σ[1, 3] 2(1 + i(2/n))(2/n) = Σ[1, 3] (4/n + 4i(2/n)^2)
= 4Σ[1, 3] 1/n + 4Σ[1, 3] i(2/n)^2 = 4(2/n + 6(2/n)^2)
= 8/n + 48/n^2
最后，我们取n趋近于无穷大，即lim(n→∞) 8/n + 48/n^2 = 0。因此，函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分为0。
通过以上计算，我们可以看到，利用定义来计算函数的定积分需要进行一系列的分割和求和运算，最终得到定积分的结果。这种方法虽然比较繁琐，但在某些情况下是非常有效的。在实际应用中，我们可以通过这种方法来计算那些无法通过基本积分法来求解的定积分，从而得到更精确的结果。
利用定义来计算函数的定积分 篇二
在微积分中，定积分是一个非常重要的概念。通过定积分，我们可以计算函数在一个区间上的累积效果，从而得到很多有用的信息。而要计算一个函数的定积分，常用的方法之一就是利用定义来进行计算。下面，我们将通过一个具体的例子来说明如何利用定义来计算函数的定积分。
我们考虑一个简单的例子，计算函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分。根据定积分的定义，函数f(x)在区间[0, 2]上的定积分可以表示为：
∫[0, 2] x^2 dx = lim(n→∞) Σ[0, 2] xi*^2Δx
接下来，我们来具体计算这个定积分。首先，我们将区间[0, 2]等分成n个小区间，每个小区间的长度Δx为(2-0)/n = 2/n。然后，我们选择每个小区间中点xi*为i(2/n)，其中i为小区间的序号，i = 0, 1, 2, ..., n-1。根据定义，我们可以得到：
Σ[0, 2] xi*^2Δx = Σ[0, 2] (i(2/n))^2(2/n) = Σ[0, 2] 4i^2/n^3
= 4Σ[0, 2] i^2/n^3 = 4(0^2 + 1^2 + 2^2)/n^3
= 4(0 + 1 + 4)/n^3 = 20/n^3
最后，我们取n趋近于无穷大，即lim(n→∞) 20/n^3 = 0。因此，函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分为0。
通过以上计算，我们可以看到，利用定义来计算函数的定积分需要进行一系列的分割和求和运算，最终得到定积分的结果。这种方法虽然比较繁琐，但在某些情况下是非常有效的。在实际应用中，我们可以通过这种方法来计算那些无法通过基本积分法来求解的定积分，从而得到更精确的结果。
利用定义来计算函数的定积分 篇三
利用定义来计算函数的定积分
利 用 定 义 来 计 算 函数 的 定 积 分
◆王 茜 刘 光 荣
（ 空军工程大学理学院应用数学物理系）
【 摘要】定积分的概念 是用极 限来 定义的 ， 有很 强的 思想性。用 定
义 计 算 定积 分 是 教 学 中的 一 个 难 点 。 这 里 给 出 用 定 义 计 算 定 积 分 的 方 法 和 步骤 ， 举例 说 明借 助 定 义 来计 算 的 函数 类 型 ， 即幂 函 数 ； 指
数 函数 ； 角函 数 。 三
解
…于函数＿ ： Ｃａｂ ，Ｉ ｆ ：． 区间 ｌ，】 厂 ） Ｅ ｌ ｌ ） （） ｒ （ ｔ ｊ ｌ 在 口６上可积 。 所
，
以将 区 间 ｌ６ 等 分 。分 点 为 口 （一 ）ｆ １， ｎ ， 小 区 间 ａ ， ＋ ６ ｎ （＝ ，…，） ２
＾
【 关键 词 】定 积 分
幂 函数
指 数 函数
三 角 函数
ｌ＋ （一 ） ｎ ６ 口
，
＋
ｋ（ ‘ｂ
—
ｎＩ 长度 ： ）的
，取 小区 问 的右端 点
在 初 学 定 积 分 的 概 念 与 性 质 之 后 ， 没 有 学 习微 积 分 基 本 公 还 式 时 ， 们 遇 到 了定 积 分 的计 算 问题 ， 取 的 方 法 使 用 定 义 和 几 何 我 采
＋（ ｎ 于 ｒ ：ｍ ｂａ ＋（ 训 ，
＝
意义来计算 ， 而利用几何 意义求 定积 分要求必 须是 特殊 的曲边梯 形 ， 如是 圆 ， 例 三角形 等 ， 即必须是可利用公 式求 出图形 的面积的 ； 或是关于原点对称的区 间上的被 积 函数 是奇 函数 的积分 ， 结果 为 零 。利用定积分的定义解 题过程 有一定 的模式 ， 面临一 个和式 要 的极限来处理 ， 本文就是 来 明确 一下 用定 义计算定 积分 的函数 的
类型 。 １用定 义计 算 定积 分 的方 法 和 步 骤
定积 分”的概念 是 由极限运 算 定义 的，它是 一 Ｉ 个和 式的 极限 ，即
（ ６ ｎ＋ （
：（ ｂ－ａ） （ 口＋ 一口 ＝Ｉｂ ＿ ） ２１
２ ２
例 用 义 算 积 ｘ ２利 定 计 定 分ｆ ｄ ．
解 ｝ 于 函数 ， ｘ ＝ ｃｏ １ 则 ， ： Ｉ １ （） ｘ ∈ Ｉ １， ， （ ） 在 区问 Ｉ ｑ ． 积 。 Ｏ ｋ￣ ， Ｔ 所 以将 区问 Ｉ ｌ 等分 ，分 点 为 （： ， …，） ｏ ＇ ｆ １ ， ，小区 间 Ｉ ， 的长 ２
ｒ ＝ 喜 － ， ， （ ）
其 中 ， ： ａ｛ ， ： ｝ ｍｘ ， ， ￣ …， 。定 义中 对积分 区间 ｌ ｂ分划 的任 口 １ ， 意性 与 小 区 间 Ｉ Ａ ， Ｉ 选 取 点 蟊 ｆ １ ， 一 的任 意性 有 很 强 的思 － ｈ （＝ ， …，） ２
度
＝ 三 ， 取 小 区 间 的 右 端 点 二 ， 于 是
Ｈ ＾
ｆ ：喜 ＝
喜 ｘ （ １
： Ｉ — ｎ＋ ｉ ． ｍ （
— — — —
想 性和 包 容性 。但 是在可 积 的情况 下 ，可 以选 取特 殊 的分法 与取 法 ：
一
２ ） Ｉ ： ．ｎ ＋ １ Ｘ —
— — 一
１
一
：
＿坩 —
６
３
３用定义计算指数函数 和三角函数 的定积分
等 区 【 ｌ按 积 的 义 有ｒ（ …百ｂａ（。 分 间 ， 定 分 定 ， ，） ｌ￣ －， ） ６ ｉ 出＝ｍ
可 取 小 区 问 ， ｌ 左 端 点 ＋ 的 （一 ） 右 端 点 ６ 或
借助下面的等 比数列求和公式可求某些指数函数的定积分 ：
口＋唧 ＋． ＋卵 一 ： ． ．
Ｊ～ 口
其中 ，
（ ｇ≠ｌ 】
口 ＋
三（ 一口 。 ６ ）
Ｊ ｌ
例 用 义 算 积 ． ３利 定 计 定 分ｆ 出
解 由 于函数 ，（） Ｅ ａｂ ，则 ， ｅ 在 区问 【，ｌ 可积 。 ；Ｅ Ｃｌ，ｌ （） ｘ 口ｂ上 所 以将 区 间 【，ｌ 分 ， 分点 为 口 ’ｂ ）ｆ ２…，） 小区 问 口ｂ ｎ等 ＋ｉ（一口 （：１ ， 月 ，
，
这样我们用定义来 计算定 积分 的话 ， 一般有 下 面的解题 格式
与 步骤 ：
首先 ， 由可积 的充 分条件 判断 函数可 积。如果被 积 函数 是连 续 函数 的话 ， 那么 函数可 积 ； 如果有 有 限个 间断 点的话 ， 由积分 则 的可加性 ， 将其转化为几个连续 函数积分 的和 。 其次， 由函数可 积想到定 积分与分 法 、 取法无关 ， 而选取特 从 殊的分法 ： 区间等分 ； 将 特殊 的取法 ： 小区间的左端点或右端点。 第三 ， 将定积分写成一个特定和式 的极 限 ， 用已知 的求 和公 利
：
＋
Ｈ
（一 ）ｎ （一 ）的长 度 Ａ ， ｂ— ６ 口， ＋ ６ 口Ｉ ｘ ＝— ａ，取小 区问 的右端 点 －
ｎ 月
。＋
ｉ－ ｌｐｘ… （ 卜ｒ ａ 足 ｄｌ Ｈ ” ｏ ＝喜 ｉ ａ ｒ 。 鬲
ｌ ｉ ｍ
…
式求和 ， 求和是关键 ， 也是难点。
（ 一Ｐ ） １
＝ ｅ 一 ￡ 。
最后 ， 求数列极 限 ， 得出定积分的值 。
２用 定 义 计 算 幂 函数 的定 积 分
观 在令 酊的等 比数列求和 公式 中的 ：１ ， 口：厶其中 ： 是复数且
ｚ ｗ：ｃｓ ＋ｉｉ０， 贝 对 于 ： ＋ ． － ｚ ＝ｅ 。８ ｓ ｎ ０ ＋ｚ ． ＋： ；— ． Ｏ
－
借助下面的求和公式可求某些幂函数的定积分 ：
１ ＋． ＋＾： ！ ＋２ ． ． ±！
．
ｚ
—
＇ ）
＿－
一
ｉ一 ：
ｉ＋ ｚ ．＋ ± ！ ！ ２＋ ． ｎ ：！ ± １ ｚ ． ！
６
艄 慨 娜
黼
对 于 任 意 给 定 的 自然 数 ｋ， ＋ …＋
求 法 ， 参 考 文 献 １ ２＋ 一 的 可 【】２ ． ｌ ［１ ， 例 ｌ 利用 定义 计算定 积分
１０ ２
ｃＯ? ÷— ｏＳ?口＋— ｓ２＋＝竽告 ８０ ÷—一 ＋…Ｏ一— Ｃ — Ｃ Ｓ ＋玎
。 咖 ． ｃ 一ｓ １ ｏ ． ） ｔ ｃ ８ 詈ｏ＋ （
ｘｘ ｄ．
例 利 定 汁 定 分ｉｏ ｋ ４ 用 义 筇 积 ‘ｓ ． ｃ捌
可得 ｔ＝ ＝ 以到 ｅ 善 ￣ ｄ ｘ ｉ … ｍ
２ （ 一ｅ ”、 ｎ１
＝ ＝ ? 一 ＋
由：数 ＝ｓ ｃ，， ｆ）Ｏ 区 Ｉ Ｌ 两边 分别 取实部 ｒ ， ／）ｃ ｅ［ Ｊｌ ＣＸ 问ｏ 町 函 ｏ ｏ ） （＝Ｓ ｘ 三１ ！ Ｊ ＇
积 。 所 以将 区 间 Ｉ，＂ 等 分 ， 分 点 为 （＝１ ， ｎ ， 小 区 间 Ｏ／ １ ｆ ， …，） ２
Ｚ
可得 ｚｏｘ ｘ Ｉ ｓｄ ＝ ， ｓ ｘｘ＝ ． ｃ ｉ ｄ １ ｎ
总 之 ， 用 定 积 分 定 义 可 求 部 分 函数 的 定 积 分 ， 们 要 面 临 一 利 我
ｌ 型
，
嘉的 度 寺 取 区 的 端 ， ｌ长 ＝ ， 小 问 右 点 ｊ 是
ｃ。 ｓ ＝
个 复杂的和式极 限的'处理 ， 于是 我们 学 习简便 而有效 地计算 定积 分 的方 法— — 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 。另 一 方 面 ， 们 又 可 以用 定 义 我
求 一类 无限和的极限或数列极 限 。
参考文献 ：
［ ］ 国胜 ， 国红 ． 于 ｌ ＋人 ＋矩 １胡 张 关 ＋ 求 和 的 三 种 算 法 ［］ 数 学 的 实 践 与认 识 ，０ ４ ３ （ ） １４—１７ Ｊ． ２０ ，４ １ ：６ ６．
喜ｏ … ｃ 云 ｃ ｌ ｓ ｉ ｒ ａ 喜
＋
警 － ： ｔ
：１ ．
［］ ２ 马建荣 ， 三阳 ， 刘 刘红卫． 自然数幂和的定积分算法［ ］ 高 Ｊ．
等 数 学 研 究 ，０ ９ １ （ ） ３ ２０ ，２ ６ ：３—３ ． ６
列 我们 也可 以计 钾＝ｉｉ ｎ ｓ
［］ ３ 同济大学应用数学 系． 高等数学［ ． Ｍ］ 北京 ： 高等教 育 出版
社 ，０ ７ ２０ ．
解
先计 算 ｉ ￣ ， ｅｄ ｘ，其 中ｆ 为虚数 单位 。 取 与例 ３类似 的过
［］ ４ 王凤鸣 ， 奇峰． 朱 高等数 学教 学 中的两个 难点分 析［ ］ 南 Ｊ．
阳师 范 学 院 学 报 ，０ ０ ９ ３ ：１ ９ ． ２ １ ，（ ）９ — ３
（ 上接第 １５页） ． １ ２ 产业结构不合理 ， 社会治安差 城 中村的出现 ， 使得一些贪 图享乐 的村 民依赖 出租房屋 、 土地 补偿款 、 资产分红来获得收益 ， 日游手好闲 ， 整 无所事 事 ， 重了村 加
面投 入 改造 的积 极性 。 ４ 加 强 村 民 素质 教育 ， 高 工 作 技 能 ． 提
村 民整体素质 的
高低 与否严 重影响到城中村改造能否成 功的 由于城市产业结构的调整 ， 劳动力素质的要求也在逐 Ｅ提 对 ｌ 民的惰性 ， 如此发展下去 既阻碍 了村集体 的发展 又阻碍 了村 民个 进行 ，
人 的发展。同时 ， 由于城 中村提供 了大量 的出租房屋 ， 由此 外来暂 高 。村 民不仅要提高 文化素质 和思想 观念 ， 还要 进行新 的培训 和 教育 ， 获得谋生的手段和技 能 ， 已适应 城市 的经济 活动 ， 更新 就业 住人员和流动人 口将城 中村作 为 了“ 聚集地 ” 。随之 带来 了一系
列不安定因素 ， 性事件 也频频 发生 ， 得治 安形式 越来 越严 峻 ， 观 念 。 恶 使 社 会 环 境 日趋 恶 化 。 ３ 人 口密 度 过 高 ， 口素 质 较 低 ． 人
５ 创 新 改 造 模 式 ， 寻 新 的 发 展 道 路 ． 探
通 过 借 鉴 广 州 、 海 、 圳 等 一 些 地 方 的改 造 模 式 ， 取 经 验 珠 深 吸
由 于 户籍 制 度 和城 市 住 房 制 度 的 限 制 ， 来 人 口 只 能 将 租 赁 教 训 。要 努 力 探 索 这 几 种 改造 模 式 的 优 缺 点 ， 具 体 分 析 各 个 城 外 在
房屋作为其解决住房 方式 的途径 ， 同时城 中村 的房屋租 赁价格 普 中村特点 、 主要问题及形成机制 的基础上 ， 活采用 改造模式 ， 灵 实 城郊 结合 部 的村 遍低 于城市商 品房 的价 格 ， 因此大量 的外来 人员高度 集 中于城 中 现多赢 。同时政府要 加强 引导 ，鼓励 有条 件 的、 村 。加 之 村 民 的思 想 道 德 陈 旧 ， 念 落 后 ， 化 程 度 低 ， 城 中 村 集 体 经 济 组 织 参 与 改 造 和 自行 改 造 。通 过 改 造 实 现 居 民城 市 化 ， 观 文 给
的精 神 文 明建 设 带 来 了 困境 。 五 、 中 村 改 造 的措 施 城
使得村 民变为真正意义上 的市 民 ， 享受市 民拥有 的待遇 ， 使得城 中 村的改造顺应城市化 的发展进程 ， 筹城乡发展 ， 步推进城 乡一 统 稳
体化。
参考文献 ：
１ 调整城市总体规划 ， ． 制定详 细 目标 调整城市总体规划 ， 应对建成 区和城 中村 地 区的建设 做到 统
一
规 划 管 理 ， 分 考 虑 城 市 用 地 功 能 、 础 设 施 发 展 水 平 ， 定 城 充 基 确
市基础设施 布局合理 ， 统筹安排公共设施 ， 解决外来人 口的生活和 居 住 空 间 需 求 。 把城 中 村 的 改 造 与 城 市 的 规 划 合 理 的结 合 起 来 ，
在 建设 的过 程 中要 规 范 建 设 行 为 ，各 级 政 府 职 能 部 门积 极 配 合 ， 相 互协 调 ， 强 工 程 监 管 ，防止 新 的城 中村 和 违 章 建 筑 的 出 现 。 加 ２ 提 高 认 识 ， 化 理 念 ． 深
［］
１ 史海运 ， 刘立钧 ，叶得 富．城 中村在城 市 中生态位的变迁
［ ］． 山西 建 筑 ， ０ ８ ３ （ ） ８ —８ ． Ｊ ２０ ， ４５ ： １ ２ ［ ］ 秀 青 ，王 丽 ．博 弈 中 的 城 中村 改 造 ［ ］． 山 西 建 筑 ， ２邢 Ｊ
２０ ， ３ ４ ： ３— ４ ０ ７ ３ （２ ） ５ ５ ．
［］ ３ 丁洪 建 ， 海 峰． 中村 的 问题 、 因及 规 划 管 理对 策 刑 城 成 ［ ］ 中国房地产 ，０ ７ （１ ） Ｊ． ２０ ， ２ ． ［］ ４ 李国敏 ， 吴倩江． 实施“ 中村” 城 改造 应注 意的 问题 ［ ］ 中 Ｊ．
国房 地 产 ， ０ ， ２ ． ２ ６（） ０
大力宣传整治改 造城 中村 的意义 、 原则 和方 法 ， 广 大市 民 使
和城 中村 的村 民了解城 中村 问题 的危 害 ， 强城 市意识 ， 增 要加 大 行政推动力度 ， 强宣传教育 ， 一步提 高人 民群众 对城 中村 改 加 进
造 重 要 意 义 的认 识 ，切 实 消 除 村 民思 想 顾 虑 ， 城 市 化 进 程 的 不 为
［ ］ 素英． ５金 城市化进程 中的“ 中村” 城 现象探 讨［ ］ Ｊ ．绿色大
世 界 ? 色科 技 ，０ ９ （７ 绿 ２ ０ ， ）．
断加快打下牢 固的思想基础 。
３保障各方利益 ， 动各方积极性 ． 调 在 城 中 村 的 改 造 过 程 中要 切 实 维 护 人 民 群 众 的 利 益 ，充 分 考
［］ ６ 贾康 ， 孙洁． 新农村基础设施建 设 中 Ｐ Ｐ模式 的应用［ ］ Ｐ Ｊ．
地 方 财 政 研 究 ，０ ６ （ ） ２０ ，５ ．
虑他们的生活需求。城中村 的改造 ， 要实 现户 籍制 度 、 土地管 理 、 行 政 体 制 、 济 组 织 、 活 活 动 等 方 面 的 完 全 转 变 ， 正 实 现 城 市 经 生 真 化。通过立法来保 证集 体财产 和个人 财产不 受到损 害 ， 在土地 收 益的分配上尽 可能 的对村 民和投资 方让利 ， 动村 民和社会 两方 调
［］ ７ 鞠睛江 ， 庞敏． 基础设施 对农村 经济发展 的作 用机制分 析
［］ 经 济 体 制 改革 ，０ ５ （ ） Ｊ． ２０ ，４ ．
［］ ８ 傅晋华． 农村基 础设施的投资 与运 营管理 ： 究综述 ［ ］ 研 Ｊ．
首 都 经 济 贸易 大 学 学报 ，０ ８ （ ） ２０ ， １ ．
１ １ 镬 ２
