五分Cantor测度的点态下密度【精简3篇】
五分Cantor测度的点态下密度 篇一
Cantor集合是数学中一个经典的例子,它展示了一个无限可数集合的有趣性质。在Cantor集合中,我们可以通过删除中间的1/3部分来生成一系列越来越稀疏的子集。这种生成方法被称为Cantor分形。而五分Cantor测度则是指在Cantor集合上定义的一种测度,它衡量了一个点在Cantor集合中的“稀疏程度”。
在五分Cantor测度中,我们将Cantor集合看作是一个单位区间上的点集。给定一个点x∈[0,1],我们可以用二进制表示法将其展开为一个小数:x=0.x1x2x3...。在Cantor集合中,我们可以通过删除中间的1/3部分来生成一个新的区间。如果x的第n位是0,则我们删除区间的左侧1/3部分;如果x的第n位是1,则我们删除区间的右侧1/3部分。通过反复进行这样的操作,我们最终得到一个Cantor集合。
现在我们来考虑一个问题:给定一个点x∈[0,1],它在Cantor集合中的“稀疏程度”是多少?我们可以用五分Cantor测度来回答这个问题。具体来说,我们定义点x的五分Cantor测度为其在Cantor集合中的密度。
在Cantor集合中,我们可以将每个点表示为一个二进制序列。例如,考虑一个点x=0.1010...,它的二进制表示法可以写为x=0.1010...=1/2+1/8+1/32+...。我们可以观察到,这个点的五分Cantor测度是1/3,即它在Cantor集合中的密度为1/3。
那么,对于一个一般的点x,它的五分Cantor测度是多少呢?我们可以通过观察二进制表示法的规律来回答这个问题。如果x的二进制表示法中有一个1出现在第n位上,那么它的五分Cantor测度就是1/3^n。因为Cantor集合中的每一步删除操作都会使得区间的长度缩小为原来的1/3,所以点x在Cantor集合中的密度也会相应地缩小为原来的1/3^n。
通过上述的分析,我们可以得出一个结论:在五分Cantor测度的点态下,Cantor集合中的点的密度是递减的。这意味着,越接近Cantor集合的边缘,点的密度越小。这也解释了为什么Cantor集合是一个稀疏的集合。在Cantor集合中,绝大多数的点都集中在边缘,而中间的部分几乎是空的。
总结起来,在五分Cantor测度的点态下,Cantor集合中的点的密度是递减的。这种稀疏性质使得Cantor集合成为数学中一个重要的例子,能够展示无限可数集合的有趣性质。通过对Cantor集合的研究,我们可以更好地理解数学中的测度理论和分形几何的概念。
五分Cantor测度的点态下密度 篇二
Cantor集合是一个经典的数学例子,展示了一个无限可数集合的奇特性质。在Cantor集合中,我们可以通过删除中间的1/3部分来生成一系列越来越稀疏的子集。这种生成方法被称为Cantor分形。而五分Cantor测度则是指在Cantor集合上定义的一种测度,它衡量了一个点在Cantor集合中的“稀疏程度”。
在五分Cantor测度中,我们将Cantor集合看作是一个单位区间上的点集。给定一个点x∈[0,1],我们可以用二进制表示法将其展开为一个小数:x=0.x1x2x3...。在Cantor集合中,我们可以通过删除中间的1/3部分来生成一个新的区间。如果x的第n位是0,则我们删除区间的左侧1/3部分;如果x的第n位是1,则我们删除区间的右侧1/3部分。通过反复进行这样的操作,我们最终得到一个Cantor集合。
现在我们来考虑一个问题:给定一个点x∈[0,1],它在Cantor集合中的“稀疏程度”是多少?我们可以用五分Cantor测度来回答这个问题。具体来说,我们定义点x的五分Cantor测度为其在Cantor集合中的密度。
在Cantor集合中,我们可以将每个点表示为一个二进制序列。例如,考虑一个点x=0.1010...,它的二进制表示法可以写为x=0.1010...=1/2+1/8+1/32+...。我们可以观察到,这个点的五分Cantor测度是1/3,即它在Cantor集合中的密度为1/3。
那么,对于一个一般的点x,它的五分Cantor测度是多少呢?我们可以通过观察二进制表示法的规律来回答这个问题。如果x的二进制表示法中有一个1出现在第n位上,那么它的五分Cantor测度就是1/3^n。因为Cantor集合中的每一步删除操作都会使得区间的长度缩小为原来的1/3,所以点x在Cantor集合中的密度也会相应地缩小为原来的1/3^n。
通过上述的分析,我们可以得出一个结论:在五分Cantor测度的点态下,Cantor集合中的点的密度是递减的。这意味着,越接近Cantor集合的边缘,点的密度越小。这也解释了为什么Cantor集合是一个稀疏的集合。在Cantor集合中,绝大多数的点都集中在边缘,而中间的部分几乎是空的。
总结起来,在五分Cantor测度的点态下,Cantor集合中的点的密度是递减的。这种稀疏性质使得Cantor集合成为数学中一个重要的例子,能够展示无限可数集合的有趣性质。通过对Cantor集合的研究,我们可以更好地理解数学中的测度理论和分形几何的概念。
五分Cantor测度的点态下密度 篇三
五分Cantor测度的点态下密度
设F0(x)=x/5,F1(x)
=x/5+2/5,F2(x)=x/5+4/5.则IFS{F0,F1,F3}的吸引子为一个五分Cantor集合,记为E.设s=log3/log5,用μE表示Cantor测度,Ds (μE,x)表示s维下密度.给出了对任意x∈E,Ds (μE,x)的明确的公式,且给出了对μE-几乎所有的x∈E,有Ds(pE,x)=4-s.证明了E的s维Packing测度为4s. 作 者:尹杰 YIN Jie 作者单位:湖南师范大学数学与计算机科学学院,中国长沙,410081 刊 名:湖南师范大学自然科学学报 ISTIC PKU 英文刊名: JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HUNAN NORMAL UNIVERSITY 年,卷(期): 200831(3) 分类号: O174.12 关键词:五分Cantor测度 下密度 Packing测度