计算行列式的方法总结【优秀3篇】
计算行列式的方法总结 篇一
行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的解的性质。在解决实际问题时，行列式的计算是不可避免的。本文将总结常见的计算行列式的方法，包括展开法、三角矩阵法和特征值法。
一、展开法
展开法是计算行列式的基本方法，也是最常用的方法之一。它的基本思想是通过对行或列进行展开，将行列式转化为更简单的形式。展开法有两种形式：代数余子式展开法和行列式按行展开法。
1. 代数余子式展开法：
代数余子式展开法是通过计算每个元素的代数余子式与该元素的乘积，再求和得到行列式的值。对于一个n阶行列式A，可以通过以下公式计算：
det(A) = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n
其中，a11, a12, ..., a1n为第一行的元素，C11, C12, ..., C1n为对应元素的代数余子式。
2. 行列式按行展开法：
行列式按行展开法是通过选取一行，然后计算每个元素与其代数余子式的乘积，再求和得到行列式的值。对于一个n阶行列式A，可以通过以下公式计算：
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj
其中，a1j, a2j, ..., anj为第j列的元素，C1j, C2j, ..., Cnj为对应元素的代数余子式。
二、三角矩阵法
三角矩阵法是一种简化计算行列式的方法，通过将行列式转化为上三角矩阵或下三角矩阵的形式，从而简化计算。具体步骤如下：
1. 对行列式进行初等变换，将其转化为上三角矩阵或下三角矩阵的形式；
2. 计算对角线上的元素的乘积，即为行列式的值。
三、特征值法
特征值法是通过求解行列式的特征方程来计算行列式的值。对于n阶行列式A，其特征方程为：
|A - λI| = 0
其中，I为n阶单位矩阵，λ为特征值。解特征方程得到的特征值即为行列式的值。
综上所述，计算行列式的方法主要包括展开法、三角矩阵法和特征值法。在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的方法进行计算，可以提高计算效率和准确性。
计算行列式的方法总结 篇二
行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的解的性质。在解决实际问题时，行列式的计算是不可避免的。本文将继续总结计算行列式的方法，包括按行列展开法和矩阵变换法。
一、按行列展开法
按行列展开法是计算行列式的一种常用方法，通过对行或列进行展开，将行列式转化为更简单的形式。按行列展开法有两种形式：代数余子式展开法和行列式按行展开法。
1. 代数余子式展开法
代数余子式展开法是通过计算每个元素的代数余子式与该元素的乘积，再求和得到行列式的值。对于一个n阶行列式A，可以通过以下公式计算：
det(A) = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n
其中，a11, a12, ..., a1n为第一行的元素，C11, C12, ..., C1n为对应元素的代数余子式。
2. 行列式按行展开法
行列式按行展开法是通过选取一行，然后计算每个元素与其代数余子式的乘积，再求和得到行列式的值。对于一个n阶行列式A，可以通过以下公式计算：
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj
其中，a1j, a2j, ..., anj为第j列的元素，C1j, C2j, ..., Cnj为对应元素的代数余子式。
二、矩阵变换法
矩阵变换法是一种通过对行列式进行初等变换，将其转化为上三角矩阵或下三角矩阵的形式，从而简化计算的方法。
1. 上三角矩阵法
上三角矩阵法是通过对行列式进行初等变换，将其转化为上三角矩阵的形式。具体步骤如下：
(1) 选取第一行作为主元素所在的行；
(2) 通过初等变换将主元素下方的元素变为0；
(3) 重复以上步骤，直到所有行都变为上三角形式。
2. 下三角矩阵法
下三角矩阵法是通过对行列式进行初等变换，将其转化为下三角矩阵的形式。具体步骤如下：
(1) 选取最后一行作为主元素所在的行；
(2) 通过初等变换将主元素上方的元素变为0；
(3) 重复以上步骤，直到所有行都变为下三角形式。
综上所述，计算行列式的方法包括按行列展开法和矩阵变换法。在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的方法进行计算，可以提高计算效率和准确性。
计算行列式的方法总结 篇三
(一)首先，行列式的性质要熟练掌握
性质1行列互换，行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。
推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。
推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。
性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理：
定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。
定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。
(二)几种特殊行列式的值
有关行列式的若干个重要公式：
为便于考生综合复习及掌握概念间的联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下：
2017考研数学：行列式的计算
行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面小编为同学们简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清楚这种类型题。
对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。特殊低阶行列式可以直接利用行列式的性质进行求解。
对于高阶行列式的计算，我们的基本思路有两个：
一是利用行列式的性质进行三角化，也就是将行列式化为上三角或者下三角行列式来计算;
二是运用按行或者按列直接展开，其中运用展开定理的行列式一般要求有某行或者某列仅有一个或者两个非零元，如果展开之后仍然没有降低计算难度，则可以观察是否能得到递推公式，再进行计算。其中在高阶行列式中我是用加边法把其最终化为上(下)三角，或者就直接按行或者列直接展开了，展开后有的时候就直接是上或者下三角形行列式了，但有时其还不是上下三阶，可能就要用到递推的`类型来处理此类题目了。总之，我们对于高阶行列式要求不是很高，只要掌握几种常见的情形的计算方法就可以了。
有的时候，对于那些比较特殊的形式，比如范德蒙行列式的类型，我们就直接把它凑成此类行列式，然后利用范德蒙行列式的计算公式就可以了，但是，我们一定要把范德蒙行列式的形式，一阶其计算方法给它掌握住，我们在上课时也给同学们讲解了其记忆的方面，希望同学们课下多多做些练习题进行巩固。
当然对于行列式我们有时可能还会用到克莱默法则和拉普拉斯展开来计算，只是这些都是些特殊的行列式的计算，其有一定的局限性，比如1995年数三就考到了一题用克莱默法则来处理的填空题。
对于抽象型行列式来说，其计算方法就有可能是与后面的知识相结合来处理的。关于抽象型行列式的计算：
(1)利用行列式的性质来计算，这里主要是运用单行(列)可拆性来计算的，这种大多是把行列式用向量来表示的，然后利用单行或者列可拆性，把它拆开成多个行列式，然后逐个计算，这时一部分行列式可能就会出现两行或者列元素相同或者成比例了，这样简化后便可求出题目中要求的行列式。
(2)利用矩阵的性质及运算来计算，这类题，主要是用两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵分别取行列式相乘，这里当然要求必须是方阵才行。这类题目的解题思路就是利用已知条件中的式子化和差为乘积的形式，进而两边再取行列式，便可得到所求行列式。之前很多年考研中都出现过此类填空或者选择题。因此，此类题型同学们务必要掌握住其解题思路和方法，多做练习加以巩固。
(3)利用单位矩阵的来求行列式，这类题目难度比前面题型要大，对矩阵的相关性质和结论要求比较高。早在1995年数一的考研试卷中出现过一题6分的解答题，这题就是要利用A乘以A的转置等于单位矩阵E这个条件来代换的，把要求的式子中的单位矩阵换成这个已知条件来处理的。
(4)利用矩阵特征值来求行列式，这类题在考研中出现过很多次，利用矩阵的特征值与其行列式的关系来求行列式，即行列式等于矩阵特征值之积，这种方法要求同学们一定要掌握住，课下要多做些练习加以巩固。
