余弦定理证明过程
余弦定理证明过程
余弦定理证明过程ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
2
在任意△ABC中, 作AD⊥BC.
∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a -->
BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
勾股定理可知：
AC=AD+DC
b=(sinB*c)+(a-cosB*c)
b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB
b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a
b=c+a-2ac*cosB
所以，cosB=(c+a-b)/2ac
2
如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的'直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^
mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
