函数的单调性教案二 篇一
在上一篇教案中，我们已经初步了解了函数的单调性及其相关概念。在本篇教案中，我们将进一步深入学习函数的单调性及其应用。
首先，我们来回顾一下函数的单调性的定义：设函数f(x)在区间I上有定义。若对于任意的x1、x2∈I，若x1接下来，我们将介绍如何通过导数研究函数的单调性。若函数f(x)在区间I上连续，并且在I内可导，则有以下结论：
1. 若f'(x)>0，对于任意的x∈I，则函数f(x)在区间I上是单调递增的；
2. 若f'(x)<0，对于任意的x∈I，则函数f(x)在区间I上是单调递减的。
这个结论是通过导数的正负来判断函数的单调性的，非常实用。我们可以通过求导的方法来研究函数在某个区间上的单调性，从而更好地理解和应用函数的单调性。
除了用导数来研究函数的单调性，我们还可以通过函数的图像来直观地观察函数的单调性。通过画出函数的图像，我们可以清晰地看出函数在不同区间上的单调性，这对于我们理解函数的单调性有很大帮助。
最后，我们还要提到函数的拐点。拐点是函数图像上的一个特殊点，函数在拐点处的单调性发生改变。我们可以通过求函数的二阶导数来判断函数的拐点，从而更全面地研究函数的单调性。
通过本篇教案的学习，我们对函数的单调性有了更深入的理解。掌握了函数的单调性概念及其判断方法，我们将更准确地分析和解决与函数单调性相关的问题。在学习数学的过程中，函数的单调性是一个非常重要且基础的概念，希望同学们能够认真学习和掌握。
函数的单调性教案二 篇二
在上一篇教案中，我们已经学习了函数的单调性及其相关概念，以及如何通过导数来研究函数的单调性。在本篇教案中，我们将进一步探讨函数的单调性在实际问题中的应用。
函数的单调性在实际问题中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。在很多实际问题中，我们需要找到某个函数在一定范围内取得最大值或最小值的情况，这就需要通过函数的单调性来进行分析和求解。
举一个简单的例子：某商品的生产成本函数为C(x)=100+2x，其中x表示生产数量。现在要求生产数量在一定范围内取得最小值，即求C(x)的最小值。我们可以通过分析C(x)的单调性来求解这个问题，因为在极值点处函数的单调性发生改变，即在极小值点处函数由单调递增变为单调递减。通过求导得到C'(x)=2，由于C'(x)>0，所以C(x)在定义域内是单调递增的。因此，C(x)的最小值发生在定义域的边界处，即在x=0处，C(0)=100即为最小值。
除了在优化问题中的应用，函数的单调性还可以帮助我们解决一些不等式问题。通过分析函数的单调性，我们可以更准确地判断函数在某个区间上的取值范围，从而解决不等式问题。
另外，在统计学中，函数的单调性也有着重要的应用。比如在研究某种现象的规律性时，我们可以通过函数的单调性来分析数据的变化趋势，从而更好地理解数据的含义。
通过本篇教案的学习，我们不仅深入了解了函数的单调性及其应用，还了解了函数在实际问题中的重要性。函数的单调性不仅仅是数学理论中的一个概念，更是应用于现实生活中的重要工具。希望同学们能够在学习和工作中灵活运用函数的单调性，解决各种相关问题。
函数的单调性教案二 篇三
函数的单调性（教案）二
（三）例题讲解 例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？ （用投影幻灯给出图象．） 生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间． 生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？ 师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，b]上单调（增或减），且[ ， ] [a，b]，则f（x）在[ ， ]（增或减）．反之不然． 例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数． 师：从函数图象上观察函数的单调性是最直观的，但如果每次都要画出函数图像就太麻烦了，而且有些函数不容易画出它的图像，一次我们必须学会根据解析式和定义来证明。 师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程． （教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较 和 的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．） 师：对于 和 我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的`符号来决定两个数的大小关系． 生：（板演）设 ， 是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当 时， ， 所以f（x）是增函数． 师：他的证明思路是清楚的．一开始设 ， 是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设 （边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看 ，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么 ＜0，没有用到开始的假设“ ”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以 ，从而 ＜0，即 ．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）． 这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可 小． 调函数吗？并用定义证明你的结论． 师：你的结论是什么呢？ 上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数． 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞）， 显然成立，而 ， ，显然有 ，而不是 ，因此它不是定义域内的减函数． 生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）
和（0，+∞）上都是减函数． 域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间． 上是减函数． （教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示： （1）分式问题化简方法一般是通分． （2）要说明三个代数式的符号：k， ， ． （3）如果用作商的方法，要注意说清 与1的关系，还要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变。 （四）课堂练习 课本38页练习1、2、3. （五）课堂小结 师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？ （请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．） 生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤． （六）布置作业 课本P45练习第1，2，3，4题．
